Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы рассмотрим теперь гамильтонову систему с двумя степенями свободы, так как это простейший неразрешимый случай. Уравнения имеют вид
где Н — заданная аналитическая функция четырех переменных pi,
Р2, <72* Пользуясь известным интегралом энергии Н = const и независимостью Н от ?, можно чисто формальным образом понизить на две единицы порядок этой системы. Эта редукция хорошо известна, и нет надобности проводить ее здесь. Новые упрощенные уравнения могут быть следующим образом представлены в виде гамильтоновой системы с одной степенью свободы:
Здесь Н — известная функция переменных р, д, т. Этой редукцией мы будем пользоваться в дальнейшем.
Если pi, gi,p2, д2 означают координаты точки в четырехмерном пространстве, то четыре первоначальных уравнения определяют некоторое течение жидкости в этом пространстве. Составляющими скорости являются как раз четыре величины, стоящие в правых частях уравнений (2). Каждая точка (pi, <71, рг, #2) представляет определенное состояние движения. Линии тока или кривые движения соответствуют возможном движениям системы. Совокупность возможных точек
dp = _дЕ_ dq = дН
dt dq ’ dt dp’
(i)
dpi = _№ dqi = dll
dt dqi ’ dt dpi ’
(2)
dp = _dH dq = dH
dr dq ’ dr dp
(3)
314
Приложения
соответствует «многообразию состояний» и может быть замкнутой или незамкнутой. Две такие динамические системы «эквивалентны», если существует точечное преобразование, переводящее точки и движения одной системы в точки и движения другой.
Действительная цель динамики состоит в том, чтобы определить все инварианты данной динамической системы относительно таких преобразований так, чтобы было возможно ответить на вопрос, эквивалентны ли две такие системы или нет.
Вообще говоря, такие инварианты существуют лишь в окрестности положения равновесия или периодического движения. Поэтому мы будем рассматривать окрестность замкнутой кривой движения, соответствующей такому периодическому движению.
Соответственно нашей редукции мы будем рассматривать только близкие состояния движения, для которых постоянная энергии та же, что и для данного периодического движения. Они соответствуют трехмерной части многообразия состояний, образующей топологический тор.
При надлежащем выборе переменных р, q, г данная кривая движения будет лежать вдоль оси г в пространстве р, q, г, где всякие две точки (р, q, т + 2п) и (р, q, г) соответствуют одному и тому же состоянию движения. Здесь тор превращается в бесконечный цилиндр.
Пусть теперь дана некоторая поверхность S, пересекающая замкнутую кривую движения в точке Q под углом, отличным от нуля. Плоскость т = 0, очевидно, является поверхностью этого рода. Возьмем какую-либо точку Р этой поверхности и проследим проходящую через Р кривую движения в направлении возрастающего времени до первой следующей точки Pi, также лежащей на S. Этим определяется точечное преобразование Т от любого Р к соответствующему Pi: Pi = Т(Р). Это преобразование, как и обратное преобразование Р = Г-1 (Pi), аналитично, если только данная проблема и секущая поверхность аналитичны. Следует заметить, что Q является неподвижной точкой преобразования Т.
Чтобы дать простой пример такого преобразования Г, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
q!! -Ь к? q = О,
или, что то же самое, два дифференциальных уравнения типа (3):
dt dq ’ dt др
Решение (р, д), принимающее при т — О значения (р0, д0)? дается
Некоторые проблемы динамики
315
формулами:
р = ро cos kr — kqo sin &т, q = ^ sin кт + qo cos кт.
к
При возрастании г от 0 до 2л получаем р2:
Pi = Ро cos 2кл — kqo sin 2кл, qi = ^ sin 2кл + qo cos 2кл.
к
В координатах (p/Vk, g\/fc) это преобразование Т является обычным вращением на угол 2кл.
Очевидно, что при другом выборе координат или секущей поверхности определится другое преобразование Т, эквивалентное Т. В самом деле, при новом выборе координат изменяются лишь координаты на S. Но и при новом выборе секущей поверхности паре значений р, q переменных на S соответствует одна и только одна пара р, q на S', в силу чего и здесь преобразования Т и Т должны быть эквивалентными.
Этот результат допускает обращение, а именно, если преобразования, относящиеся к двум динамическим проблемам, эквивалентны, то и эти проблемы эквивалентны друг другу. Чтобы доказать это, надо лишь определить взаимно однозначное и непрерывное отображение двух многообразий состояний.
Геометрически это совершается так. Точки поверхностей S и S соответствуют друг другу заданным образом. Всякая другая точка Р первого многообразия лежит на дуге QQi, оканчивающейся в двух точках секущей поверхности. Точка Р делит дугу на две части QP и PQ\. Обозначим отношение этих частей QP/PQi через а. Будем считать точки Р и Р соответствующими, если они лежат на соответствующих дугах QQ 1 и QQX и имеют одинаковые <т и а. Таким образом, устанавливается непрерывное преобразование одного многообразия в другое многообразие, переводящее кривые движения первого многообразия в кривые движения второго.
Применяемые здесь точечные преобразования только непрерывны. Таким образом, при этом способе доказательства мы пользуемся группой всех непрерывных точечных преобразований.
