Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Результаты двух последних параграфов могут быть объединены в следующей лемме.
Лемма 2. Если существует конечная S-цепь, то существуют минимальные 6-цепи, и для всякой минимальной 8-цепи Р0, Pi, ... , Рп существует одно-однозначное непрерывное, направленное наружу радиальное перемещение Е, определенное при г ^ а, перемещающее точки на расстояние, меньшее 8? а кривую С наружу, и переводящее
Т(Р0), T(Pl), ... , Т{Р;
соответственно в
Р2, • • • ? Рп•
§ 6. Вспомогательная кривая. Лемма 3. Рассмотрим теперь преобразование ТЕ, получаемое, если после Т произвести такое преобразование Е. Ясно, что ТЕ есть прямое одно-однозначное преобразование кольца R в кольце E(Ri) и что оно переводит круг С в другую кривую Ci, окружающую С. Кроме того, ТЕ переводит точки Р0, Pi, ... , Pn-i минимальной ?-цепи, соответствующей преобразованию Е, в точки Pi, Р2, ... , Рп соответственно. В самом деле, Т
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
297
переводит Р{-\ в точку Т(Р^_i), а Е переводит последнюю в Pi. Так как Р0 лежит на Со = С, то Pi лежит на С±.
Преобразование ТЕ переводит двусвязное кольцо, ограниченное кривыми Со и Ci, в аналогичное кольцо, ограниченное кривыми Ci и С2. Это второе кольцо опирается на внешнюю сторону Ci первого кольца, а точка Р2 лежит на С2. Таким образом, применяя последовательно преобразование ТЕ, получаем последовательность расширяющихся колец Со Ci, С1С2, ••• , Cn_iCn, каждое из которых опирается на предыдущее, в то время как Р0, Р2, •, Рп, лежат соответственно на Со, Ci, ... , Сп.
Этот процесс, разумеется, кончился бы раньше, если какое-нибудь кольцо СГ-\СГ (г < п) выходило из R. Очевидно, однако, что все точки С0С1 принадлежат Mi, все точки CiC2 принадлежат М2 и т. д., так что все точки СГ-\СГ принадлежат Мг и потому по самому определению минимальной J-цепи не могут лежать вне R. С другой стороны, Рп на Сп лежит вне i?, так что часть кольца Сп-\Сп простирается вне R.
На этом этапе удобно рассматривать г и $ как прямоугольные координаты точки на плоскости г, $. Из какого-либо избранного определения преобразования Т в этой плоскости все другие определения этого преобразования получаются посредством параллельного перемещения в направлении & на расстояние 2кп (к = ±1, ±2, ...). Круг С переходит в прямую г = а, параллельную оси Г и оказываются незамкнутыми кривыми, лежащими над этой прямой и простирающимися бесконечно далеко направо и налево, тогда как Ci, С2, ... делаются такими же кривыми, причем Ci лежит над Со, С2 над Ci и т. д.
Отрезки какой-либо из этих кривых, содержащиеся в полосе
2кп ^ 'д ^ 2 (к + 1)7Г
конгруентны друг другу. Кольца CCi, CiC2, ... делаются примыкающими друг к другу лентами. Преобразование ТЕ переводит каждую такую ленту в ленту, лежащую непосредственно над ней.
В этой новой плоскости соединим точки Ро и Pi непрерывной дугой P0Pi без кратных точек, пересекающей ленту С0С1 и, исключая точки Ро и Pi, лежащей внутри этой ленты.
Очевидно, что ТЕ переводит дугу Р0Р1 в дугу PiP2, пересекающую вторую ленту CiC2. Далее, ТЕ переводит дугу PiP2 в дугу Р2Рз на третьей ленте и т. д. (рис. 12). Очевидно, что таким образом получается непрерывная кривая PoPlP2 .. . Рп без кратных точек.
Пусть Qo будет первой точкой, в которой кривая PoPiP2...Pn встречает границу Г кольца R. Точка Q0, очевидно, лежит на дуге Pn_iPn, но не совпадает с концевой точкой Рп. Рассмотрим образ
298
Приложения
Рис. 12
кривой Р0Рг .. .Рп_1<5о ПРИ преобразовании ТЕ. Преобразованная кривая Pi... PnQi состоит из дуг
^1^2? Р2Р34 ••• ? Pn-lPn, PnQl
и, очевидно, не имеет кратных точек. Ясно также, что преобразованная кривая не имеет общих точек с дугой PqPi, отличных от Pi. Следовательно, вспомогательная кривая P0Q1 не имеет кратных точек. Она обладает тем дальнейшим свойством, что преобразование ТЕ переводит часть ее PoQo? пересекающую R, в другую часть P1Q1, частично лежащую вне R и пересекающую E(Ri).
Строго говоря, так как для Р0 существует бесконечная система изображающих точек, если считать г и $ прямоугольными координатами, а именно точки, получаемые из какой-либо одной при движениях вправо и влево на расстояние 2&7Г, то получается бесконечная система конгруентных крииых PoQi- Если, однако, вернуться к г и $, как к полярным координатам, и выбрать дугу Р0Р1 так, чтобы она не имела кратных точек в этой старой плоскости, то очевидно, что в новой плоскости кривые P0Q1 попарно не будут иметь общих точек и не будут также иметь кратных точек.
Полученные таким образом результаты резюмирует
Лемма 3. При условиях и обозначениях леммы 2 существует непрерывная кривая без кратных точек
PoPl • • • Pn-lQoPnQli
такая, что преобразование ТЕ переводит дугу PqQq, пересекающую R, в дугу PiQi, пересекающую E(R1), в то время как Р0Р1 пересекает кольцо, ограниченное кривыми С и Е(С).
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
299
§ 7. ^-теорема. На основе трех доказанных подготовительных лемм мы можем теперь доказать одну теорему, из которой следует обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре, сформулированное в § 2.
