Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для неспециальных значений величин / > 0 и К > 0 приведенное аналитическое многообразие Mr состояний движения не имеет особенных точек, но имеет границу, причем при приближении точки к границе либо R стремится к нулю или бесконечности, либо постоянная энергии какой-нибудь пары тел относительно их центра тяжести становится сколь угодно большой и отрицательной.
хСм. статью Lagrange, «Essai sur le probleme des trois corps», Oeuvres, т. YI.
Проблема трех тел
283
Прежде всего докажем вкратце наше утверждение относительно границ многообразия М7. На некотором расстоянии от границы ни одна из координат не может быть велика, так как ни одно из расстояний Г{ не велико, а центр тяжести системы находится в начале координат. Так как постоянная энергии для всех трех тел дана, то ни одна из частных постоянных энергии какой-нибудь пары не может быть велика и положительна. Следовательно, только в том случае, когда одна из этих частных постоянных энергии велика и отрицательна, состояние движения может быть близким к границе М7.
Исследуя аналитический характер многообразия Mg, а следовательно, и М7, мы можем предположить, что рассматриваемое в данный момент состояние движения не является состоянием двойного соударения. В самом деле, «частица» в Mis вблизи состояния двойного соударения может быть переведена аналитически в частицу, окружающую другое состояние движения, не являющееся состоянием двойного соударения. Таким образом, инвариантное подмногообразие М7 будет аналитическим либо во всех точках какой-нибудь линии потока, либо ни в одной точке этой линии.
Применим координаты ж, у, z, ?, 77, С, ж', т/, z', ?', 77', определяющие положение точки в многообразии Mi2, часть которого составляет Mg. Системы этих координат, удовлетворяющие условиям момента количества движения и энергии [(11) и (12)], изображают однозначно все состояния движения, принадлежащие многообразию Mg вблизи рассматриваемого движения, принадлежащего М8. Очевидно, что, вообще говоря, эти четыре уравнения могут быть решены для любых четырех из двенадцати переменных, т. е, что Mg является аналитическим в рассматриваемой точке.
Мы можем показать, однако, что для неспециальных значений величин />0 и К>0 многообразие М8 не может содержать вообще никаких особенных точек. Выберем оси координат так, чтобы х = у = 7] = О, т. е., чтобы тело Pi лежало в направлении оси z от Р0, а прямая, соединяющая Р2 с центром тяжести тел Р0 и Pi, лежала в плоскости (ж, z). Постараемся решить наши четыре уравнения относительно ж', т/, z', 77', выразив эти переменные как функции остальных. Условие разрешимости этих уравнений будет выполнено, если определитель Якоби
0 0 0 ?
0 —Z 0 -с
Z 0 0 0
X* У' Z* rf
не обращается в нуль. Мы здесь сократили якобиан на очевидный множитель тп в первых трех столбцах и на множитель fi в четвертом.
284
Глава 9
Значит, многообразие М8 является аналитическим в данной точке при условии, что имеет место неравенство
-?zV Ф 0.
Но уже было указано, что z не равно нулю. Кроме того, мы можем считать ? ф 0, если только Р2 не находится постоянно на прямой PqP\, и мы можем взять z* ф 0, если только расстояние PqPi (и подобным же образом любое расстояние PiPj) не остается постоянным. Отсюда мы заключаем, что либо многообразие М$ является аналитическим вдоль рассматриваемой линии потока, либо все три тела лежат на одной прямой или же на постоянных расстояниях друг от друга, но не на одной прямой.
В последнем случае тела Р0? ^2 лежат, как известно, в верши-
нах равностороннего треугольника в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества движения. Этот треугольник вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своего центра тяжести. Кроме того, известно, что для каждого заданного значения угловой скорости существует одна и только одна возможная величина треугольника этого рода. Таким образом, при заданных значениях величин f и К такого движения, вообще говоря, не будет существовать.
Подобным же образом в первом из рассматриваемых случаев дальнейшее исследование показывает, что расстояния между телами остаются неизменными. Известно, что для заданного значения угловой скорости существуют три решения рассматриваемого типа и, следовательно, вообще говоря, не будет решений при данных значениях / и К.
Во всех случаях многообразие Mj может иметь особенности только в точках, соответствующих равносторонне-треугольным и прямолинейным решениям с постоянными взаимными расстояниями. Эти решения могут существовать только в том случае, когда между / и К существуют известные аналитические соотношения. Только когда / и К при своем изменении проходят через эти критические значения, может изменяться топологическая природа Mj.
Многообразие Mj имеет основное значение для проблемы трех тел, но, насколько я знаю, оно нигде не было изучено даже в связи с такими элементарными вопросами, как связность. В работе Пуанкаре доказывается существование известных периодических движений, т. е. известных замкнутых линий потока в М7, получаемых методом аналитического продолжения из предельного интегрируемого случая задачи трех тел; им были также рассмотрены (в связи с разложением в формальные ряды) соседние движения, т. е. торообразные окрестности таких замкнутых линий потока, но Пуанкаре не рассматривал многообразия Mj в целом.
