Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. <5-цепи. Лемма 1. Возьмем произвольное число S > 0.
Посредством преобразования Т любая точка Ро круга С переводится в точку T(Pq) круга С. Направленное наружу радиальное перемещение на произвольное расстояние а0? удовлетворяющее лишь условию 0 ^ ао < 8, переводит Т(Ро) в точку Pi, лежащую на той же радиальной прямой. Подобным же образом направленное наружу радиальное перемещение точки T(Pl) на расстояние ai, удовлетворяющее лишь условно 0 ai < <5, переводит Г (Pi) в точку Р2, лежащую на той же радиальной прямой. Продолжая таким же образом, получаем 5-цепъ точек
Р0, Pi, Р2, ... ,
в которой каждая точка получается из предыдущей посредством применения преобразования Т и последующего направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее числа <5. <5-цепь может оборваться на некотором п-м шаге только тогда, когда Рп лежит вне i?, так что преобразование Т в этой точке не определено. Такая обрывающаяся (5-цепь будет называться конечной.
Условие несуществования конечной <5-цепи содержит следующая
1В моих чикагских лекциях о динамических системах, которые скоро появятся в виде книги, я доказываю эти утверждения. (См. главу VI этой книги, которая и имеется здесь в виду. — Ред.)
292
Приложения
Лемма 1. Для того, чтобы не существовало конечной 8-цепи, необходимо и достаточно, чтобы в R содержалось открытое кольцо Е; опирающееся на С и переходящее при преобразовании Т в кольцо Т(Е), содержащееся в Е и радиально отстоящее от внешней границы кольца Е не менее чем на S.
Достаточность условия очевидна. В самом деле, если точка Р лежит в таком континууме Е, то ее образ Т(Р) и всякая точка, получаемая из Т(Р) посредством направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее чем ?, также лежит в Е, так как Т(Р) лежит в Т(Е). Таким образом, последовательные элементы цепи Pi, Р2, ... должны все лежать в Е и потому в iZ, так как Ро лежит в Е.
Необходимость условия также легко устанавливается. Мы начнем с рассмотрения точечных множеств Mo, Mi, ..., образованных соответственно точками Ро, Р2, ...
Множество М0, разумеется, совпадает с кругом С. Множество Mi, очевидно, является открытым круговым кольцом.
а ^ г < а + S.
Оно содержит М0 и состоит из внутренних точек, исключая точки круга С.
Множество М2 содержит Mi и потому Mq. В самом деле, для всякой точки Ро на круге С существует единственная точка P-i, переходящая в Р при преобразовании Т. Таким образом, точки P_i, Р0, Pi образуют ?-цепь из трех точек, в силу чего Pi принадлежит также М2.
Далее, все точки множества М2, кроме точек круга С, суть внутренние точки. Чтобы это показать, нам, разумеется, можно уже не рассматривать точек Р2, принадлежащих Mi. Для точки Р2, не принадлежащей Mi, соответствующая точка Pi есть внутренняя точка Mi. Так как преобразование одно-однозначно и взаимно непрерывно, то оно переводит Pi и окрестность Pi в T(Pi) и окрестность T(Pl). Дальнейшее радиальное перемещение переводит Г (Pi) и окрестность этой точки в точку Р2 и ее окрестность. Следовательно, Р2 и в этом случае есть внутренняя точка множества М2.
Наконец, множество М2 связно, так как оно получается при радиальном перемещении связного множества T(Mi).
Таким образом, мы усматриваем, что Mi, М2, ... есть возрастающая последовательность открытых связных множеств, опирающихся на С. Если конечных ?-цепей не существует, то получается бесконечная последовательность таких областей, причем все они лежат в R. Они определяют предельное открытое связное множество, опирающееся на С. Это множество 5, очевидно, есть не что иное, как совокупность всех точек, принадлежащих каким-либо J-цепям.
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
293
Рассмотрим теперь область T(S). Так как в случае принадлежности точки Q к Мр точка T(Q) принадлежит Mp+i, то T(S) есть открытое связное множество, опирающееся на С и содержащееся в 5. Далее, если T(Q) передвинуть наружу в радиальном направлении на расстояние, меньшее, чем <5, то получающаяся точка все еще будет принадлежать Мр+1. Таким образом, каждая точка множества T(S) отстоит не менее чем на S от границы множества 5 в наружном радиальном направлении.
Следовательно, если бы 6 было кольцом, то оно было бы областью того типа, существование которого утверждается в лемме. Однако вполне допустимо, что часть границы множества 5, достижимая из бесконечности, не составляет всей границы. Это будет тогда, когда 5 захватывает(2) некоторые области или части своей наружной границы и, таким образом, не является кольцом.
Допустим теперь, что 5 не есть кольцо, и обозначим через 5 захваченное точечное множество. Ясно, что множество 5 + 5 образует настоящее кольцо. Докажем, что эта увеличенная область 5 + 5 удовлетворяет остальным условиям, налагаемым на S в лемме 1.
Ясно, что 5 + 5 содержится в Д, так как 5 содержится в R; следовательно, 5 + 5 может быть подвергнуто преобразованию Т. При этом Т преобразует это множество в самого себя или в часть самого себя. В самом деле, если какая-либо точка принадлежит 5, то мы видели, что Т переводит ее в точку множества 5, если же точка принадлежит 5 и, следовательно, захватывается множеством 5, то она переводится в точку, захватываемую множеством Т(5) и тем более захватываемую самим 5, т. е. также в точку множества 5 + 5. Далее, аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка множества T(S+S) отстоит не менее чем на S от границы множества 5 + 5 в наружном радиальном направлении. В самом деле, если такая точка принадлежит Т(5), то она обладает этим свойством относительно границы множества 5; если же точка принадлежит Т(5), то она получается из точки, захватываемой 5, и потому захватывается Т(5), в силу чего последующее радиальное перемещение в направлении наружу на расстояние, меньшее, чем ?, дает точку, захватываемую 5 и, значит, принадлежащую 5 + 5. Этот последний шаг основан на ранее доказанном соотношении между 5 и Т(5).
