Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Проблема трех тел
285
В заключение заметим, что состояния движения, при которых три тела движутся все время в плоскости, проходящей через их центр тяжести и перпендикулярной к вектору момента количества движения, соответствуют инвариантному подмногообразию М5 многообразия М7, содержащему все особенные точки, когда таковые существуют. Поскольку, вопрос касается размерности, это многообразие М5 могло бы служить границей надлежащим образом обобщенной секущей поверхности (см. главу V).
§ 11. Типы движения в М7. Проблема трех тел отличается от проблем несингулярного типа, которые мы рассматривали раньше, тем, что для нее многообразие состояний движения не замкнуто. Особенности на границе не могут быть уничтожены никакими аналитическими ухищрениями. В самом деле, рассмотрим «частицу» в окрестности состояния тройного соударения при t — 0. Очевидно, что эта частица стремится к границе М7, так как мы имеем в этом случае limi? = 00, согласно полученным выше результатам (§8). Полутрубчатая область, образованная этой частицей при ее движении, переходит, следовательно, при своем движении в свою собственную часть и должна была бы соответствовать бесконечному значению инвариантного семимерного объемного интеграла. Такое положение не может возникнуть, когда многообразие состояний движения замкнуто и не имеет особенностей.
Мы можем сказать еще точнее, что линии потока, соответствующие движениям, при которых имеется большое приближение к тройному соударению, не только лежат целиком вблизи границы М? и стремятся к ней при безграничном возрастании или убывании t, но они заполняют собой три, не имеющие общих точек, области многообразия М7, так как при каждом таком движении какое-то одно определенное из трех тел, безгранично удаляется от остальных двух.
Линии потока, соответствующие большому приближению к тройному соударению7 заполняют7 таким образом7 три7 не имеющих общих точек7 связных семимерных множества в многообразии Mj7 соответствующих тому7 что любое из тел Pq,Pi или Р2 может быть относительно далеко от других двух тел в течение такого движения. Эти области лежат вблизи границы М?7 и всякая принадлежащая к ним линия потока приближается к этой границе, когда t безгранично возрастает или убывает.
Эти три связные области, разумеется, не определены точно, пока мы не фиксировали степень приближения к тройному соударению.
Естественно ожидать, что в этом случае безграничного удаления два близких тела будут иметь определенную предельную постоянную энергии, ориентацию плоскости движения, эксцентриситет, количество движения и момент количества движения относительно центра тяжес-
286
Глава 9
ти всех трех тел. Во всяком случае эти движения мы можем свободно рассматривать как в значительной мере «известные».
Тут возникает очень интересный вопрос, а именно: заполняют ли движения, для которых ИтД = оо в одном или в обоих направлениях, многообразие М7 всюду плотно или нет? Весьма существенно понять, в чем состоит трудность, присущая этому вопросу. Прямым вычислением, без сомнения, можно всегда установить, принадлежит ли данное движение к одному из этих связных множеств или нет. Разумеется, для \К\ малых почти все должно быть заполнено этими множествами, вследствие результатов, полученных нами для случая К ^ 0. Тем не менее, если в Mj имеется хотя бы одно периодическое движение устойчивого типа, невозможно определить, будут ли соседние движения принадлежать к этим множествам, не решая для этого частного случая основной проблемы устойчивости. Мы уже указывали (глава VIII) на чрезвычайную трудность проблемы устойчивости, возникающую как раз вследствие того, что в динамической проблеме, подобной проблеме трех тел, формальная устойчивость первого порядка обеспечивает удовлетворение бесконечного множества других, более тонких условий полной формальной устойчивости. Предыдущий вопрос, однако, может быть поставлен в другой, более наглядной форме, которая, по моему мнению делает весьма вероятным, что движения, для которых limR = оо при lirnt = +оо, всюду плотны в М?. То же будет в таком случае справедливо и относительно движений, для которых lim R = ос при lim t — — 00, так как, вследствие обратимости системы дифференциальных уравнений, оба предположения должны быть одновременно справедливы или одновременно ложны.
Мы уже изображали многообразие М7 как семимерную жидкость, находящуюся в состоянии стационарного течения. Три типа движений, при которых происходит большое приближение к тройному соударению, соответствуют трем потокам, входящим в М7 из бесконечности и возвращающимся затем в бесконечность.
Что же может случиться с какой-нибудь произвольной точкой жидкости? Мне представляется вероятным, что, вообще говоря, такая точка будет двигаться по М7, пока она не будет подхвачена одним из этих потоков и унесена в бесконечность. Можно, однако, предвидеть, что окажутся также и такие точки, которые будут находиться в равновесии или двигаться по замкнутым линиям потока и, таким образом, не будут унесены этими тремя потоками. В согласии с результатами главы VII в этом случае должны непременно существовать другие линии потока, которые будут оставаться вблизи данной замкнутой линии потока при возрастании или же при убывании времени. Более обще будут существовать линии потока рекуррентного типа, соответствующие ре-
