Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Эти соображения показывают, что все динамические свойства движений соответствуют свойствам преобразований секущих поверхностей. Таким образом, динамическая проблема сводится к проблеме преобразований плоскости вблизи неподвижной точки. Ясно также, что такое сведение произвольной динамической проблемы к проблеме преобразований всегда возможно по крайней мере вблизи периодического движения.
316
Приложения
Каковы же теперь характеристические свойства преобразования, соответствующего динамической проблеме (3)?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим прежде всего, что при применении канонических переменных р, д, т и секущей поверхности т = 0 площади не меняются при преобразовании Т. В самом деле, течение оставляет объем неизменным, так как уравнения могут быть написаны следующим образом:
При этом каждая точка движется с составляющей скорости, равной единице, по оси т. Поэтому маленький цилиндр с основанием а в плоскости т = 0 и с постоянной маленькой высотой h должен все время иметь основание с одной и той же площадью. Произвольная площадь а в плоскости р, q должна поэтому равняться соответствующей площади а в плоскости т = 27г, что и требовалось доказать.
Мы можем теперь дать несколько иную картину нашей проблемы на плоскости. В плоскости р, q каждая точка движется в каждый момент т с составляющими скорости —dH/dq, дН/др. Таким образом, определяется переменное течение на плоскости, которое такое же, как если бы плоскость т = с двигалась в направлении оси т со скоростью равной единице и каждая точка плоскости р, q оставалась бы на соответствующей кривой движения. Это переменное течение есть течение несжимаемой жидкости в плоскости, так как площадь всякой части остается постоянной. Мы видим также, что двумерное течение периодично с периодом 27г. Ранее введенное преобразование Т имеет здесь следующий смысл. Точка Р жидкости, которая при т = 0 занимает положение р0, </(ь будет через 27т секунд находиться в pi, qi.
Обратно, каждое сохраняющее площадь периодическое течение этого рода соответствует динамической проблеме (3). В самом деле, дифференциальные уравнения такого течения могут быть написаны в виде
где
%=Р, % = Q, f^ = 1 [P = P(p,q,r), Q = Q(p,q,r)\
где P и Q периодичны в г с периодом 2тг и где
Некоторые проблемы динамики
317
в силу несжимаемости. Если теперь положить
(p,q)
Н = ( {Qdp-Pdq),
(0,0)
то эти дифференциальные уравнения примут как раз вид (3).
Поэтому кажется очевидным, что всякое однозначное, сохраняющее площади преобразование Т соответствует гамильтоновой проблеме типа (3). Этот факт сейчас же доказывается по крайней мере в том случае, когда функции, определяющие Т, равно как и все их производные, непрерывны, и функция Н того же рода (но, быть может, неаналитическая)1.
Для динамических систем со многими степенями свободы соответствующее объемосохраняющее свойство таких преобразований Т не вполне характерно.
Рассмотрим теперь какое-либо сохраняющее площади преобразование Т вблизи неподвижной точки. В общем случае оно имеет один из следующих типов. Либо линейная часть Т является вращением
Pi = Ро cos $ — qo sin $, q1 = po sin $ + q0 cos $, где $/27г иррационально, либо она имеет вид
Pi = Ар0, Чг =
где А2 ф 1. Второй, значительно более простой тип будем называть неустойчивым, первый — устойчивым.
Во втором случае можно, по всей вероятности, при надлежащем выборе переменных р, q придать преобразованию Т следующую нормальную форму:
Pi = XePoq°po, gi = je~Poqoq0.
При этом допускаются все точечные преобразования, при которых соответствующие функции и все их производные непрерывны. Для исходной динамической проблемы прямые ро = 0 и q$ = 0 соответствуют двум семействам асимптотических движений. Все другие близкие движения приближаются к периодическому движению с тем, чтобы потом опять удалиться от него.
^м. мою заметку «Замечание о роли геометрической теоремы Пуанкаре».
318
Приложения
В первом случае также существует простая нормальная форма:
Pi = Ро cos($ + Гц) - qo sin($ + r\),
<7i = p0sin(# + го) + <7o cos($ + Гц),
где /'о = Pq + </o* Эта нормальная форма в общем случае достижима лишь формальным образом.
Мы видим, что и здесь существует единственный формальный инвариант д. Преобразование можно с большой степенью точности рассматривать как подобное вращению вокруг точки (0, 0) на зависящий от радиуса г0 угол $ + т\.
Определение природы преобразования в этом случае является одной из интереснейших и труднейших проблем математики. Существенный вопрос заключается в следующем: остаются ли точки Р, близкие к точке (0, 0), все время близкими к ней при повторении преобразования Т? Это — простейший случай проблемы динамической устойчивости, которая в настоящее время не разрешена.
В этом направлении я хочу сделать еще одно замечание. В силу природы преобразования в этом случае можно придти к заключению, что вблизи рассматриваемого периодического движения существует бесконечное множество периодических движений с той же постоянной энергии, совершающих много оборотов в течение своего периода^). Идея доказательства следующая (разумеется, я не могу привести всех деталей).
