Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 119

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 147 >> Следующая

Некоторые проблемы динамики
323
После этих подготовительных замечаний мы можем формулировать некоторые, в настоящее время нерешенные проблемы теоретической динамики. Вначале мы говорили о связи между периодичностью и устойчивостью. Однако такая связь не имеет места, если идею периодичности не обобщить надлежащим образом.
Существуют два рода таких обобщений. Вспоминая наш первый пример, легко понять оба эти рода обобщений.
Во-первых, мы заметим, что с течением времени каждое движение приближается к периодическим по крайней мере в этом специальном примере. Если многообразие состояний замкнутое, то существует замкнутое множество Mi, к движениям которого приближаются все остальные движения. Чтобы точнее определить Mi, рассмотрим небольшую частицу(6) в М. Может случиться, что с течением времени эта частица никогда не вернется к ее исходному положению. Соответствующие движения называются тогда «блуждающими»(7). Множество Mi есть как раз множество неблуждающих движений. Теперь мы можем определить движения М2, не блуждающие относительно Mi. Таким образом, возникает счетная, вполне упорядоченная последовательность М, Mi, М2, ..., оканчивающаяся на некотором Mr = Mr+i, где г — порядковое число в смысле Кантора. В течение всякого движения точка почти всегда находится вблизи этого множества центральных движений(7). Если многообразие состояний двухмерно, то легко доказать, что г ^ 2. Однако при большем числе измерений гг я не думаю, чтобы было г ^ п.
Поэтому я формулирую следующим образом нашу первую проблему.
Проблема I. Построить динамическую задачу с трехмерным замкнутым многообразием состоянии таким образом, чтобы порядковое число г центральных движений было > 3.
Существуют другие важные проблемы, касающиеся строения центральных движений.
Второе обобщение периодических движений возникает так. Никакое периодическое движение не приближается к другому движению. Мы можем называть «рекуррентными» те движения, пути которых плотны в минимальном замкнутом множестве других движений, не содержащем никаких подмножеств того же рода. Существование таких рекуррентных движений и их квазипериодические свойства легко доказать. Основная теорема гласит, что всякое устойчивое движение равномерно часто подходит близко к таким рекуррентным движениям(8).
Существует много важных вопросов о строении рекуррентных движений. Но первый и важнейший вопрос относится к одним периодическим движениям и может быть сформулирован так.
324
Приложения
Проблема II. В случае гамильтоновых задач (2) с двумя степенями свободы, с замкнутым многообразием состояний и с наличием хотя бы одного устойчивого периодического движения доказать всюду плотность периодических движений. (Постоянная энергия имеет здесь заданное значение.)
Если это предположение правильно, то всякое движение такой гамильтоновой системы всегда совершается вблизи периодических движений. Я не думаю, чтобы это же имело место в случае многих степеней свободы. Я предполагаю, что рекуррентные движения всюду плотны. Поэтому и формулирую третью проблему следующим образом. Проблема III. В случае любой гамильтоновой задачи с замкнутым многообразием состояний доказать всюду плотность рекуррентных движений.
Существует еще другой вопрос, касающийся периодических движений: можно ли найти целесообразное обобщение последней теоремы Пуанкаре на более общие случаи?
Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании Т двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность 5, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются.
Мы должны теперь определить также тип преобразований Т, возникающих из динамических задач. Свойство сохранения площадей, характеристическое в простейшем случае, допускает обобщение, ибо, как было замечено выше, Т является в общем случае объемосохраняющим. Однако это свойство никоим образом не является характеристическим. Чтобы определить характеристическое свойство, рассмотрим какую-либо геодезическую проблему. На гг-мерной поверхности, по которой движется частица, мы можем построить (гг — 1)-мерную поверхность таким образом, чтобы рассматриваемая замкнутая геодезическая линия пересекала ее в некоторой точке. Может оказаться, что поблизости существует одна и только одна геодезическая линия, соединяющая точку (#i, ... , xn-i) этой поверхности с ближайшей следующей точкой (х[, ... , я4_х) этой же поверхности. Будем тогда рассматривать (#i, ... , жп_1, ж'1? ... , ж{г_1) как координаты точки на обычной
Некоторые проблемы динамики
325
секущей поверхности; энергия частицы Н, а потому и ее скорость имеют здесь заданное значение, в силу чего многообразие состояний (2п — 1)-мерно. При преобразовании Т точка (жх, ... , секущей
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed