Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
При больших п и в достаточно малой окрестности точки (0, 0) преобразование Тп имеет вид вращения на угол п($-\-г2) по крайней мере в том отношении, что вращение вдоль круга г = tq превосходит вращение при г = 0 более чем на 27г. Поэтому можно найти m такое, что если Тп дополнить поворотом на угол то вращение будет положительным
при г = го и отрицательным при г = 0.
Легко усмотреть, что при этом новом преобразовании Т^ должна существовать по крайней мере одна замкнутая кривая С вокруг точки (0, 0) такая, что на ней вращение равно нулю. В силу сохранения площадей, при Г™ кривые С и Т™(С) должны иметь по крайней мере одну общую точку Р. Далее непосредственно доказывается, что каждый радиус пересекает С в одной и только одной точке. Поэтому и Т^(С) обладает тем же свойством, так как каждая точка T^(Q) кривой Т^(С) лежит на том же радиусе, что и Q. Следовательно, Т^(Р) должно совпадать с Р.
Эта точка Р соответствует периодическому движению, совершающему п оборотов в течение своего периода. А так как п может быть взято сколь угодно большим, то существует бесконечное множество
Некоторые проблемы динамики
319
таких периодических движений вблизи рассматриваемого периодического движения.
Так называемая последняя геометрическая теорема Пуанкаре была им установлена, чтобы доказать существование таких новых периодических движений. Наш метод показывает, однако, как во многих важнейших случаях можно избежать применения этой теоремы. Очень интересно отметить, что большинство неправильных попыток доказательства этой теоремы основано на соображениях совершенно того же рода, что и вышеприведенные. Эти попытки как раз потому не ведут к цели, что в общем случае теоремы Пуанкаре нам не известно, что С имеет нужный специальный вид.
Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем: 1) бильярдный шар на эллиптическом столе; 2) частицу на гладкой выпуклой поверхности; 3) частицу на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел.
1. Бильярдный шар на эллиптическом столе.
Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, 6, с (а > Ъ > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть «интегрируемой».
Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно: два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям.
Возможные состояния движения соответствуют точкам эллипса, рассматриваемым совместно со всевозможными направлениями. Таким образом, если ж, у — координаты точки эллипса, а ф — направляющий угол, то каждая тройка (ж, у, ф) дает состояние движения. Совокупность таких состояний, очевидно, является топологическим тором, если отвлечься от тех состояний (ж, у, ф), при которых (ж, у) лежит на самом эллипсе. Но для таких точек тройки (ж, у, ф) и (ж, у, ф\) следует рассматривать как одно состояние, если ф и ф\ соответствуют двум
320
Приложения
последовательным отрезкам. Поэтому многообразие состояний в этом случае замкнуто.
Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний.
Здесь без всяких исключений можно определить преобразование Т. Пусть $ будет переменная с периодом 27Г, определяющая положение точки на эллипсе; ip — угол между направлением отскочившего бильярдного шара и положительным направлением касательной. Таким образом, 0 ^ ip ^ 7г. Для каждой пары ($, ф) существует непосредственно следующая пара (#1, ipi). Совокупность состояний движения ($, <р), соответствующих удару о борт, образует секущую поверхность S для всех возможных кривых движения, за исключением двух движений катания вдоль кривой. Эта секущая поверхность имеет вид кольца. Мы можем написать
(<?!, Vl) = m ^).
Так как эта проблема интегрируема, то на S мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при Т и при Т-1. Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить.
Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений: а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых; Ь) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры; с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени; они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз; d) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы.
