Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности переходит в точку (ж'х, ... , ж"_х). Длина П (жх, ... , ж'г_х) геодезической линии, соединяющей (жх, ... , жп_х) с (х[, ... , ж^_х)> обладает здесь экстремальным свойством:
d [0(ж1, ... , ж^_х) + , ж"_х)] = О
при варьировании переменных ж'х, ... , х'п_1. Эти n — 1 уравнений определяют координаты ж", ... , х”г_г через жх, ... , xfn_1 и тем самым преобразование Т.
Пользуясь конечным числом таких вспомогательных поверхностей можно следующим образом определить преобразование Т в геодезической проблеме. Существует к функций
, a4_i), Sh(x[, ••• , жК-i), ••• , 0Л(4'!_1), ••• , ®i-i)
таких, что уравнения
d(?l\ • • • Н- — О
имеют место и определяют преобразование Т. Здесь варьируются все
(к) (к)
переменные, кроме жх, ... , жп_х и х\ ’, ... , хКп_1.
Преобразования Т такого рода будем называть «консервативными преобразованиями». Возникает следующая проблема.
Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании Т доказать существование соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, системы геодезического типа.
Если это предположение правильно, то действительное обобщение последней теоремы Пуанкаре должно в качестве эквивалента давать теорему о существовании других замкнутых геодезических линий вблизи данной замкнутой геодезической линии. Рассматриваемая замкнутая геодезическая линия, разумеется, должна быть здесь устойчивого типа.
Вопрос о возможном обобщении теоремы Пуанкаре мы можем теперь формулировать следующим образом.
Проблема V. Пусть Т — какое-либо консервативное преобразование с неподвижной точкой Р устойчивого типа. Определить условия, при которых вблизи Р существует бесконечное множество точек, неподвижных при преобразованиях Тт.
326
Приложения
Наконец, я должен сформулировать важную и весьма трудную проблему устойчивости в ее простейшей форме.
Проблема VI. В случае двух степеней свободы доказать существование динамических систем, обладающих периодическим движением устойчивого типа, которое, однако, в действительности неустойчиво.
Все вышеприведенные проблемы касаются не специальных динамических систем, а общих. Существует много других интересных проблем, касающихся некоторых важных специальных систем. Здесь я хочу отметить лишь две такие проблемы.
Проблема VII. В общей задаче трех тел определить топологическую природу многообразия состояний.
Проблема VIII. Доказать неинтегрируемость задачи трех тел вблизи периодического движения устойчивого типа.
Следует заметить, что результаты Пуанкаре доказывают лишь невозможность некоторой равномерной интегрируемости при переменных массах. По моему мнению, вышеприведенные проблемы суть именно те, от решения которых зависит возможность значительного дальнейшего продвижения.
О существовании областей неустойчивости в динамике
§ 1. Пусть нам дана динамическая система с двумя степенями свободы. Будем рассматривать движения, соответствующие какому-нибудь определенному значению полной энергии. В этом случае дифференциальные уравнения движения можно написать в следующем виде:
dp _ дН(р, q, t) dq _ дН(р, q, t) m
dt dq ’ dt dp { ’
В частности, в непосредственной окрестности периодического движения можно рассматривать независимую переменную t как и периодическую (угловую) координату периода 27т, а Н — как периодическую функцию этой переменной, причем само периодическое движение будет соответствовать траектории р = q = 0 в пространстве (р, g, t).
§ 2. Следуя методу, примененному в работах Пуанкаре1, Леви-Чи-вита2 и моих3, изучение движений, соседних с периодическим движением, приводится к изучению некоторого точечного преобразования Т плоскости в себя. Обозначим через
PiPo, qo, t) и q(po, qo, t)
координаты p, (/ в момент t того движения, для которого при t = 0 р и q обращаются соответственно в ро и qo. Если Н представляет собою аналитическую функцию своих аргументов, то обе эти функции р и q будут также аналитическими относительно р0, tfo? t-
По прошествии промежутка времени, равного 27т, движущаяся точка окажется снова в плоскости t = О4 с значениями координат р и д, равными
Pi = р(ро, qo, 2тг) = <р(р0, q0), qi = q(po, qo, 2тг) = ф(р0, q0).
¦'^См. его «Methodes nouvelles de la mecanique celeste», I, III.
2См., например, Levi-Civita, «Sopra alcuni criteri di instabilita», Annali di Mathematice, Ser. Ill, т. V. 1901.
3«Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, т. XLIII, 1922.
Отметим здесь, что почти все рассуждения, содержащиеся в этом мемуаре, остаются справедливыми в случае, когда Т выражается непрерывными функциями, имеющими непрерывные производные любого порядка.
4Мы рассматриваем все точки (р, д, ? + 2&7г) (к = 0, ±1, ±2, ...) как одну точку.
328
Приложения
Таким образом, преобразование Г, переводящее каждую точку р, q в точку pi, gi, определяется формулами
Легко показать, что это преобразование Т будет прямым, однооднозначным и аналитическим в окрестности инвариантной точки р — Of q = 0, которая соответствует данному периодическому движению, и что кроме того это преобразование сохраняет площади:
