Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
ид,..., шп = const.
Пусть F: М2п -> 1R - непрерывная функция на симплектичес-ком
многообразии, х = vh[x) -вполне интегрируемая гамильтонова система с
компактными инвариантными поверхностями Ма. Рассмотрим решение x(t,xo) с
начальным условием х0 на регулярной поверхности Ма ~ Тп. По теореме 1,
f(t) = F(x(t,x0))- условно-периодическая функция времени; роль чисел
ид,..., шп играют частоты условно-периодического движения на n-мерном
торе Ма. В частности, при М2п = lR2n все глобальные канонические
координаты представлены условно-периодическими функциями.
По теореме Г. Вейля существует временное среднее
разумеется, зависящее от начального значения хо- Оказывается, если точка
хо принадлежит нерезонансному инвариантному тору, то это среднее
непрерывно в х0. В общем случае функция (4.2) разрывна на М2п. Обсуждение
этих вопросов можно найти в [83].
4. В ряде задач гамильтоновой механики количество известных интегралов
превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют
друг с другом. Некоторые условия интегрируемости гамильтоновых систем с
"избыточным" набором интегралов указаны в работах [137, 126].
Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом
многообразии М2п имеет n + к интегралов Fj, F2,..., Fn+k, причем на
поверхности Мс = {т ? M2n : F,(x) = = Cj, 1 ^ г ^ п + к] эти функции
независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона
Тогда, если поверхность Мс связна и компактна, и ранг матрицы
(4.3) не превосходит 2к, то поверхность Мс диффеоморфна (п-к)-мерному
тору и на ней можно так выбрать угловые переменные ipi,..., у>п-к mod
27Г, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид - од = const (1 ^ s ^ п- к).
Следствие. Пусть гамильтонова система с п степенями свободы имеет 2п - 2
независимых интеграла. Тогда связные ком-
(4.2)
(4.3)
88
§ 5. Примеры вполне интегрируемых систем
тктные поверхности уровня этих интегралов-двумерные торы, г движение на
этих торах условно-периодическое.
Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Га-лильтона
коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг матрицы (4.3) не
превосходит 2п - 4 = 2(п -2) = 2к. Интегрируемость л квадратурах
гамильтоновой системы с п степенями свободы, допускающей 2п - 2
независимых интеграла, установлена Якоби с помощью метода интегрирующего
множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 § 2.
Теорема 3 выводится из теоремы Ли - Картана [12, гл. 3] и результатов
работы [137].
§ 5. Примеры вполне интегрируемых систем
1. Уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
гамильтоновы на интегральных многообразиях 1с = {ш,7 : (1ш,7) = с, (7,7)
= 1}.
Один интеграл всегда существует - это интеграл энергии. Таким образом,
для полной интегрируемости уравнений на 1С достаточно знать еще один
независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как
уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров: три
собственных значения оператора инерции I\,h,h и три координаты центра
масс гьг2>гз относительно его собственных осей.
1) Случай Эйлера (1750 г.): 77 = г2 = г3 = 0. Новый интеграл: (1ш, 1ш).
2) Случай Лагранжа (1788 г.): 1\ = /2, г\ = г2 = 0. Новый интеграл: а"з =
const.
3) Случай Ковалевской (1889 г.): I\ = h = 2/з, т3 = 0. Интеграл,
найденный Ковалевской, -это (ш2 -uij - hji)2 + (207022 - 5 гДе
v = er/1-i, г2 - г\ + г2.
4) Случай Горячева - Чаплыгина (1900 г.): 1\ = /2 = 4/3, гз = = 0, с =
(102,7) = 0. В отличие от случаев 1)-3), мы имеем здесь интегрируемый
случай на одном интегральном уровне Iq.
Отметим, что все перечисленные интегрируемые случаи образуют в
шестимерном пространстве параметров г: многообразия одной и той же
коразмерности, равной трем.
2. Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных
точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона,
Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден
Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера - Пуассона
в комплексной плоскости времени. Случай Горячева - Чаплыгина намного
проще: его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных.
Покажем это.
89
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
В специальных канонических переменных L,G,l,g (см. [83]) функция
Гамильтона имеет вид
Tr G2 + 3L2 (L , . . , \
Н = ------ Ь р I - cos I sin д + sin I cos g I , p = er .
8I3 \G )
Рассмотрим каноническое преобразование L = -Pi-p2, G - p2-Pi, qi = -I -
g, q2 = g - l. В новых симплектических координатах
rr Pi - P2 f Pi sin 9i , P2 sin 92
H - 7ГГ7 -ч - P I---------------1
2/3(pi - P2) V Pi - P2 Pi - P2
Полагая это выражение равным h и умножая на Р1-Р2, видим, что оно
разделяется: hpi-pf/fiD+ppi singi = hp2-pl/(21з,) - рр2 sin q2. Положим
"з "з
-у- - HP! sin qi - Hpi = F , -f + PP2 sin q2 - Hp2 = F . (5.1)
Из
Функция F является первым интегралом уравнений движения (см. § 7); в
специальных канонических переменных она имеет вид
