Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
L(L2 - G2) L2-G2 . ,
F - -* 1 Н---ц sin /cos <7, а в традиционных перемен-
8/3 2 G
ных Эйлера - Пуассона 02,7 - вид F = -2/|/, / = ыз(ы2 + w2) + + но;17з (и
= /2//3). Выпишем замкнутую систему уравнений для изменения переменных
pi,p2:
дН рр\ дН рр2
р 1 = - - = cos qi , Рг - ~ а- =-cos g2 ,
Oq\ pi ~ P2 OQi Pi - P2
или, учитывая соотношения (5.1),
±\/Ф(рО . ±\/Ф(Рг) /_ пч
Pi = ----------- , Р2 = ---------- , (5.2)
Pi - Р2 Pi - Р2
где Ф(.г) = p2z2 - (F + Hz - г3/(2/з))2 - многочлен шестой степени.
Решения этих уравнений выражаются через гиперэллипти-ческие функции
времени. Переменные р\ и р2 изменяются в непе-ресекающихся интервалах
[<24, b\) и [а2, i>2], где аг- и 5; - соседние корни многочлена Ф, между
которыми он принимает положительные значения.
Введем угловые переменные <р\,<р2 mod 27Г по формулам
= ^ Г d* т = [К . (5.3)
TiJa, L J?(z)
90
§ 5. Примеры вполне интегрируемых систем
В новых переменных уравнения (5.2) примут вид
где Pi(z)-действительные гиперэлЛиптические функции с периодом 27г,
определяемые соотношениями (5.3).
Траектории уравнений (5.4) на Т2 = {<р mod 27г} - прямые линии, поэтому
отношение частот соответствующих условнопериодических движений равно
Т\/т2 - отношению периодов ги-
факт имеет место и для уравнений задачи Ковалевской. Подробности можно
найти в работе [83].
3. Задача о движении твердого тела в идеальной жидкости намного богаче
интегрируемыми случаями. Напомним, что уравне-
дн дн дн
ния Кирхгофа m = тп х ----------1- р х --, р = р х --, 2Н =
от др дт
= (Ат, т) + 2(Вт,р) + (Ср,р), всегда имеют три интеграла: F\ = = Я, F2 =
(т,р), F3 = (р, р). Задача об их полной интегрируемости сводится к
вопросу о наличии четвертого интеграла, независимого с функциями Fi, F2 и
F3. Перечислим известные интегрируемые случаи, считая матрицы А, В, С
диагональными: А = = diag(ai,a2,a3), В = diag(5b b2, b3), С =
diag(ci,c2,c3).
1) Случай Кирхгофа (1870 г.): ai = 02, bi - Ьг, С\ = сг- Добавочный
интеграл F4 = т3. Уравнения движения просто интегрируются в эллиптических
функциях времени.
2) Случай Клебша (1871 г.): Ь\ = Ьг = Ь3 = Ь и
Из этого соотношения следует, что с, = a/a, + /3 (а,[3 = const).
Дополнительный интеграл имеет вид F4 = + m2 + т\ -
(o-ipl + U2P2 + Параметр b является несущественным:
а 1ага3
он не входит в уравнения движения.
Так как {Fi,F4} = 0, то Fi -интеграл уравнений Кирхгофа с гамильтонианом
Н = F4. Однако этот случай не является новым, поскольку коэффициенты
гамильтониана F4 также удовлетворяют соотношению (5.5).
В старых работах по гидродинамике принята следующая терминология. Если
выполнено (5.5) и среди чисел 01,02, а3 нет равных, то это - первый
случай Клебша. Если 01 = 02=^03, то из (5.5) вытекает, что С\ = С2. Это -
второй случай Клебша (частный случай Кирхгофа). Наконец, при аг = а2 = аз
имеем третий случай
перэллиптического интеграла
Этот замечательный
а-х 1(с2 - с3) + а2 *(с3 - сД + Оз1^ - с2) = 0 (5.5)
91
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
интегрируемости Клебша (гамильтонианом служит функция AF4, А = const).
Отметим, что первый и третий случаи "двойственны" друг другу.
3) Случай Стеклова - Ляпунова (1893 г.):
(f>2 - h)/ai + (&з - bi)/o2 + (bi - b2)/a2 = 0 , (5-6)
ci - (b2 - &з)2/а1 = с2 - (Ьз ~ Ь\)2/а2 = сз - (&i - Ь2)2/а2 • (5.7) Из
этих соотношений можно найти, что
bj = p(aia2a3)a~l + v , сх = р2ах(а2 - а3)2 + и' , ...,
/ .
= const .
Дополнительный интеграл есть I\ = J2(mj ~ 2^(aj + u)m]Pj) +
j
+ р2((а2 - а3)2 -\-v")p\-\-. • • Параметры и, и' и п" несущественные: их
появление связано с наличием классических интегралов Кирхгофа Г2 и F3.
В случае несовпадения чисел щ, а2 и а3 интеграл Г был найден В. А.
Стендовым. При ах = а2 ф а3 из (5.6) и (5.7) вытекает, что Ьх = Ъ2 и ci =
с2\ это - случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, ai = а2 = а3,
то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил
А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию AF4, А =
const; добавочным интегралом будет, очевидно F\. Поэтому случаи
интегрируемости Стеклова и Ляпунова также "двойственны" друг другу.
4) Частный случай интегрируемости Чаплыгина (1902 г.):
2Н = а{т\ + m| + 2т2) + b(m,р) + a((d + с)р\ + (d - с)р\ + dpi) .
Параметры bad несущественные: они не войдут в уравнения движения. В
предположении F2 = (m, р) = 0 имеется дополнительный интеграл F4 = (т2 -
т2 + ср3)2 + 4т2т2, напоминающий по своей структуре интеграл Ковалевской.
Отметим, что в 9-мерном пространстве параметров случаи Кирхгофа, Клебша и
Стеклова - Ляпунова задаются алгебраическими многообразиями одинаковой
коразмерности, равной трем.
4. Задача о движении п точечных вихрей по плоскости (§ 8, гл. I)
вполне интегрируема при п ^ 3. Случай п = 1 тривиален; при п = 2
независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции ЯиМ;
при п = 3 - функции Я, М и Р2 + Р2. В задаче четырех вихрей независимых
интегралов ровно столько, сколько степеней свободы. Однако они не все
