Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
функции канонического преобразования p,q -> у,х: у = = dW/dx, р = dW/dq.
В новых канонических переменных х,у функция Н становится равной К(х),
поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются: х = хо, у = Уо +
w(x0)t, ш(х) = дК/дх.
Подчеркнем, что функция К в уравнении (7.3) считается неопределенной, и
для ее однозначного задания следует привлекать дополнительные условия.
Обычно полагают К(х\,... ,хп) = = хп: тогда в фазовом пространстве
переменных ж, у траектории гамильтоновой системы (7.1) являются прямыми.
2. Если уравнение (7.3) имеет полный интеграл вида W(q,x) =
П
= Wk(qk, Xi,... ,хп), то переменные qi, ¦ ¦ ¦ ,qn называются раз-
i=l
деленными.
Приведем примеры гамильтонианов, для которых уравнение
(7.3) решается разделением переменных:
(а) Я = /"(/"-1(... /2(/i(pi,qi),P2,9г)• • •, Рп-и tfn-i),Рп, qn)l
(б) Я = J2f*(Ps,<ls) / J29s{Ps,Q*)-
В случае (а) можно положить W = W\(q\,x\) ^2(92, %i, Х2) +
+ ... + Wn(qn, жп_], хп), где функция W* удовлетворяет уравнению fk{xk-
i,dWk/dqk,qk) = xk (2 ^ к ^ п); /1 (dWi/dqx, qx) = хх. Поскольку Wk
зависит лишь от qk, а хк,..., хп - параметры, то эти уравнения можно
рассматривать как обыкновенные. Они тривиально интегрируются.
В случае (б) полагаем К - х0 и ищем полный интеграл уравнения
J2ixo9k(dW/dqk,qk) - fk\dW/dqk,qk)\ = 0 в виде суммы к
Y^Wk{qk,Xo,xk), где Wk, как функция от qk, удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению
(dWk \ r (dWk \ ^
ГХ1 "0 ¦
В качестве п независимых параметров можно взять и любые п - 1 из п
параметров х\,...,хп.
Подчеркнем, что мы не ставим целью найти все решения уравнения (7.3); нам
достаточно знать хотя бы одно п-параметрическое семейство его решений.
Отметим, что случаи (а) и (б) могут встречаться в сочетании друг с
другом; кроме того, возможны более сложные виды разделения переменных. В
качестве примера приведем относящийся сюда результат П. Штекеля (1985
г.). Пусть Ф-определитель матрицы ||<Ру(%)|| (1 ^ hj ^ п). а Фу-
алгебраическое дополнение
98
§ 7. Разделение переменных
элемента Предположим, что в симплектических координатах Ри ¦ ¦ • > Pni 9i
1 • • • > Яп функция Г амильтона имеет вид
П
н (р, я) = Y1q*У ф(р'; (7-4)
тогда уравнения Гамильтона интегрируются. Полагая К(х) = х\, запишем
уравнение (7.3): \j^xk<pkm(qm)-fm (dW/dqm, qm) =
m L k
= 0. Его полный интеграл можно найти в виде суммы W{q,x)~ = S Wm(gm,
хЛ.... , хп), где Wm, как функция qm, удовлетворяет
т
уравнению /т (dW,"/dqm, qm) = ? xk <Pkm(qm)-
к
Частным случаем гамильтоновых систем Штекеля являются лиувиллевы системы;
функция Гамильтона имеет вид
1 п ~^- У"
2 ±At U
г=\
$
i+c'
(7.5)
Функции Ai,Bi,Ci зависят лишь от координаты <?г, причем Аг- и Bj не
обращаются в нуль. Лиувиллевы системы часто встречаются в приложениях.
3. Задача о разделении переменных в гамильтоновых системах- популярная
тема исследований прошлого столетия. Ее актуальность подчеркивает
следующее наблюдение: если гамильтонова система с гамильтонианом Н - ^2
(q)piPj/2 решается раз-
"j
делением переменных, то в уравнении Лапласа - Бельтрами
det ||#
и II 1
координаты q также разделяются (см. [133]). Здесь дг] -элементы матрицы,
обратной к матрице метрики ||#,j||.
Леви-Чивита нашел критерий интегрируемости системы с функцией Г амильтона
Н(р, q) методом разделения переменных в данных симплектических
координатах. Функция Н должна удовлетворять следующей системе уравнений:
ЭНдН д2Н дНдН д2Н
dpj дрк dqjdqk dpj dqk dqjdpk
двдн д2н дНдН д2н п Л ^ ^
+ - - = 0, l^j<k^n. (7.6)
dqj дрк dpjdqk % dqk Ор,дрк
99
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Решения системы (7.6) при п = 2 и п = 3 изучены в работах Мореры и Дель-
Аквы (обзор результатов см. в [144]).
Если в гамильтоновой системе с гамильтонианом H(p,q) переменные р, q не
разделяются, то это еще не означает, что-ее нельзя решить методом
разделения переменных. Возможно, что после надлежащей канонической
подстановки p,q -" у,х мы получим разделенные канонические переменные х,
у. Вопрос о существовании "скрытых" разделенных переменных в
гамильтоновой системе является существенно более трудной задачей.
Пусть Н имеет "натуральный" вид Т + V и каноническая замена р, q -> у, х
является расширением "точечного" преобразования: q = f(x), у = (df /дх)Т
р. Если в некоторых новых симплектических координатах х,у исходная
гамильтонова система решается методом разделения переменных, то тогда эта
система имеет полный набор инволютивных интегралов, квадратичных по
импульсам (см. п. 4). Обсуждение возможности разделения переменных в
системах с квадратичными интегралами содержится в работе [143]. Задача о
наличии полного набора полиномиальных интегралов гамильтоновых систем
будет рассмотрена в гл. VIII.
Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены
переменных в фазовом пространстве, то тогда любая-вполне интегрируемая
гамильтонова система решается разделением переменных: для этого
достаточно перейти к переменным действие- угол. В такой общей постановке
