Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
потенциальной энергией V = (а, а) + {Ь,(3) + (с,7), где a,b,c -
постоянные векторы. Такой вид имеет, например, потенциальная энергия
тяжелого заряженного и намагниченного твердого тела, вращающегося в
суперпозиции однородных гравитационных, электрических и магнитных полей.
Движение описывается уравнениями (3.1)-(3.2) из гл. I.
О. И. Богоявленский [21] установил полную интегрируемость этой задачи
в случае шарового тензора инерции, сведя уравнения вращения к уравнениям
задачи Неймана о движении точки по трехмерной сфере с квадратичным
потенциалом. Для доказательства воспользуемся тождеством Эйлера
и2 + п2+с2 + х2т2 + п2+с2 + х2) = = (х? - Сх + Сп - пС)2 + {хп -пх + С С-
Ф2 +
+ (хС -Cx+ni- Сп)2 + id + ПП + СС + хх)2, (6.4)
которое является следствием правила умножения кватернионов. С его помощью
Лагранж доказал, что любое натуральное число можно представить в виде
суммы четырех квадратов. Из (6.4) и формул (3.6) гл. I вытекает следующая
формула для кинетической энергии тела: Т = {I/2){ш\ + <х)| + wf) = 21{i2
+ Й2 + (2 + X2) {I - момент инерции). Однако тот же вид имеет
кинетическая энергия движения точки по трехмерной сфере ?2+т?2+С2+Х2 = 1-
Остается
95
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
заметить, что направляющие косинусы квадратично зависят от компонент
кватерниона ?,77, (,х (см. (3.7) гл. I).
3. Для ряда гамильтоновых систем с алгебраическими правыми частями
изоморфизмы задаются дробно-линейными преобразованиями с особенностями.
Первый результат подобного рода принадлежит Вито Вольтерра: оказывается,
проективным преобразованием уравнения для свободного гиростата Жуковского
приводятся к уравнениям Эйлера для одного твердого тела, вращающегося по
инерции. Тем самым удается явно проинтегрировать уравнения задачи
Жуковского (см. [235]).
Напомним вид уравнений, описывающих вращение гиростата:
1у = (1у + А) х у , А € П*3 . (6.5)
Вольтерра нашел замечательное представление этих уравнений:
. _ d(/i ,/2) , _ {1У,У) f _ (Iy+Ь)2 .
%,№) ' 2\/Шз ' h 4^fhhh ' 1 j
здесь и далее индексы i,j, к образуют четную перестановку чисел 1,2,3.
Функции fi и /2 - интегралы уравнений (6.5); положим их равными
соответственно некоторым фиксированным постоянным hi и h2-
Перейдем к проективным компонентам вектора у с помощью формул
yi = Zi/z^ г = 1,2,3; (zb z2, z3, z4) e С4 \ {0} . (6.7)
Подставив (6.7) в уравнения (6.6), найдем, что Zk удовлетворяют
дифференциальным соотношениям
d{v\,V2) оЧ
z±Zi - (6.8)
V\zh Zk)
<Pi(z) = z\ (/, (zx/zA,z2/zA, z-ijzA) - hi) , 1 = 1,2.
При этом на интересующих нас движениях функции <рх и <р2 обращаются в
нуль. Заметим еще, что <рх и <р2 - квадратичные формы от проективных
координат zx, z2, Z3, Z4.
Кроме (6.8), имеют место также соотношения
~ *3* = ^'Г42) ' <6'9)
Воспользуемся теперь известной теоремой о паре квадратичных форм: с
помощью подходящего линейного невырожденного преобразования
4
ZT = ]Тсг.,?.ч , crs е С , (6.10)
96
§ 7. Разделение переменных
приведем квадратичные формы <р\ и <р2 к виду | YL PkXl-,
,'2 = Преобразование (6.10) сохраняет форму соотноше-
ний (6.8), (6.9), однако при этом правые части последних делятся на
константу х. - det ||crs||. Поэтому в новых переменных ?* уравнения
(6.8), (6.9) примут вид
Но этот же вид имеют уравнения Эйлера в проективных координатах (6.7).
Роль моментов инерции играют числа pi, р2 и Мз! они зависят не только от
/ и А, но и от постоянных интегрирования hi и h2¦ Искомый изоморфизм
задач Эйлера и Жуковского является композицией двух проективных
преобразований и одного линейного. В вещественной области этот изоморфизм
имеет особенности, что отвечает разной топологии фазовых кривых двух
задач.
4. Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда
проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-
линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и
задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка
Горячева-Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты
основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых
гамильтоновых систем (см. [178]).
1. Самым простым и эффективным методом точного интегрирования
уравнений Гамильтона является метод разделения переменных. Согласно
Якоби, задача интегрирования канонических уравнений
сводится к отысканию полного интеграла уравнения в частных производных
Гамильтона - Якоби
Полный интеграл - это n-параметрическое семейство решений V(t,q,x)
уравнения (7.2), удовлетворяющее условию невырожденности det Ф 0.
Если гамильтониан Н не зависит явно
от времени, то подстановкой V(q,t) = -Kt+ W(q) уравнение (7.2) приводится
к уравнению
^4^1 ?{?4 - (м/с hj^j^k/и: ,
~ = ihk ~ 4/х •
(6.11)
§ 7. Разделение переменных
Р - -дН/dq , q = дН/др ; (p,q)eR2n, (7.1)
(7.2)
H(dW/dq,q) = 1<{х) .
(7.3)
4 Козлов В. В.
97
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Так как det ЦсЯнуддджЦ = det ф 0, то W(q,x) - "пол-
ный" интеграл уравнения (7.3) - можно принять в качестве производящей
