Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 33

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 172 >> Следующая

(ср. с п. 3 § 1).
Итак, при подходящем выборе аналитической функции F = = - 1/R числовая
ось значений о: = u>i/u>2 разбивается на такие множества Мш, М(Х),...,
Мп,..., АД, М0, что:
- при а ? Ми система (3.19) имеет аналитическое поле симметрий;
- при о: ? Мао имеется поле симметрий с бесконечно дифференцируемыми
компонентами, но нет аналитического поля симметрий;
- при а ? Мп система (3.19) допускает поле симметрий класса Сп, но нет
полей симметрий класса гладкости Cn+1;
- наконец, при а ? М0 система (3.19) вообще не допускает поля симметрий с
дифференцируемыми компонентами.
Все множества Ми, М1Х),..., Мп,..., М0 имеют мощность континуума и всюду
плотны на числовой прямой, причем мера множеств М.",... , Мп,..., М0
равна нулю.
Эти замечания следует иметь в виду при решении задачи о наличии
нетривиальных групп симметрий динамических систем.
81
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
5. Обсудим теперь свойства групп симметрий гамильтоновых систем. Пусть
F - первый интеграл гамильтоновой системы
Тогда гамильтоново поле vp(z) - поле симметрий системы (3.22).
Действительно, пусть Ьц и Гр-операторы дифференцирования, отвечающие
гамильтоновым полям гщ и vp. Из тождества Якоби для скобок Пуассона
следует, что
Таким образом, если {Я, F} = 0, то [п#,щт] = 0. Заметим, что этот вывод
справедлив и в более общем случае {Я, F} = const.
Векторные поля, порожденные интегралами F гамильтоновой системы (3.22),
естественно назвать гамильтоновыми полями симметрий. Конечно, далеко не
всякое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым.
Эти наблюдения можно обобщить. Пусть / - замкнутая 1-форма в фазовом
пространстве системы с гамильтонианом Я. Локально / = dF, поэтому форме /
можно поставить в соответствие локально-гамильтоново поле vp с функцией
гамильтона F. Если {Я, F} = 0, то поле vp является полем симметрий
системы (3.22). Форму / (или многозначную функцию F) можно назвать
многозначным интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Я. Если
форма / точна, то F-"глобальный" однозначный интеграл.
Приведем пример многозначного интеграла. Рассмотрим движение заряженной
частицы по плоскому тору Т2 = {х, у mod 2л} в постоянном магнитном поле.
Уравнения движения х - ау = 0, у + ах = 0 (а - const) гамильтоновы. Они
имеют два линейных по скорости интеграла, х - ау и у + ах, которые
являются многозначными функциями в фазовом пространстве Т2 х IR2.
6. Предположим, что в 2п-мерном фазовом пространстве M2n = {z} заданы
такие п независимых функций F\ = Я, Яг, ...,Fn, что {F, Fj} = X)cyFA, с?-
= const. Тогда, очевидно, линейное пространство функций А, натянутое на
элементы Fi,..., F", будет n-мерной алгеброй Ли. Числа с\- - структурные
константы алгебры А в базисе F\,..., Fn.
Теорема 1 [82]. Предположим, что выполнены следующие условия:
1) во всех точках множества Ia = {z : F\(z) = аь ..., Fn(z) = ап} функции
Fu...,Fn независимы;
2) Y, cijak = 0 Для всех г, j = 1,... п;
3) алгебра А разрешима, причем {F^F,} = c^-Fi.
i = vH(z) .
(3.22)
[Lh,Lf] - Ь^рщ .
(3.23)
82
§ 3. Группы симметрий
Тогда решения системы z = vh{z), лежащие на Ia, можно найти ,}
квадратурах.
Множество П наборов a - (ai,..., an), удовлетворяющих условию 2),
является линейным подпространством R71, размерность которого не меньше
dim А - dim{A,A}, где {А, А} - коммутант алгебры А (линейное
подпространство, порожденное элементами вида {/,<?}, где f,g 6 А). Так
как А разрешима, то dimll ^ 1.
Следствие (теорема Лиувилля). Если функции {E)t}" независимы и попарно
находятся в инволюции, то каждая из гамильтоновых систем z = vpk{z) (1 А:
п) интегрируется в квад-
ратурах.
В этом случае, очевидно, П = Кп. Гамильтоновы системы с п степенями
свободы, имеющие п независимых интегралов в инволюции, называются вполне
интегрируемыми.
Доказательство теоремы 1 базируется на применении обобщенной теоремы Ли
из п. 3. Естественное отображение алгебры Ли функций Е\,..., Fn на
алгебру Ли гамильтоновых векторных полей vp,,..., vpn является
изоморфизмом ввиду (3.23) и того факта, что линейная комбинация есть
тождественная константа
только при Ai = ... = А" = 0 (так как F\,..., Fn функционально
независимы).
В силу условия 2) имеем {ЕДЕ}} = 0 на /а, поэтому поля vp,,..., vpn
касаются "-мерной поверхности Ia. Легко понять, что ограничения этих
полей на Еа удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Ли, что и
требовалось доказать.
Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для
этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый
поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы
удвоенной размерности. Пусть и - поле на 71-мерном многообразии N = {ж}.
Поставим ему в соответствие функцию F = у • и(х) (у ? TXN), определенную
на кокасательном расслоении М = T*N, снабженном естественной
симплектической структурой. Координаты yi,...,yn - частные интегралы
гамильтоновой системы
z = Vp(z) , (3.24)
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed