Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 42

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 172 >> Следующая

~ Л.)+х2/(а2 - Л) = 1 задает коническое сечение, фокусы которого
совпадают с неподвижными центрами. В симплектических координатах Л, р
функция Гамильтона этой задачи равна
где V - потенциальная энергия взаимодействия. Пусть г\, г2 - расстояния
от движущейся точки до притягивающих центров. Используя формулу (7.7) при
п = 2, нетрудно получить, что
В итоге переменные Ai, щ и Л2, р2 разделяются, поэтому задача двух
неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость
сохранится, если на точку будет дополнительно действовать упругая сила,
направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры.
Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье
[173]. Отметим еще, что гамильтониан (7.10) (с учетом формулы (7.11))
имеет вид гамильтониана лиувиллевой системы (7.5).
6. В ряде случаев (например, когда среди чисел щ,..., ап есть равные)
эллиптические координаты Якоби вырождаются. Исследование вырождений
представляет большой теоретический интерес, так как при этом возникают
новые случаи разделения переменных.
pl + V(\i,\2) , (7.10)
г\ = (х2 + с)2 + х\ = [\/а2 + Ai + yja2 + Х2 )2 ,
г2 - (х2 - с)2 + х\- (\/а2 + Ai - \/а2 + Х2 ) .
Следовательно,
71 72 _ 7ir2 + 72П
Г\ Г2 Г\Г2
(71 + 7г)\/а2 + At - (71 - 72)4/0^+ А2 Ai - А2
• (7.11)
юз
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Положим п = 3; этот случай наиболее важен с точки зрения приложений.
Здесь имеется 10 различных типов вырождения эллиптических координат;
среди них - обычные декартовы координаты в К3 (см. [133], гл. 5). Укажем
два наиболее интересных типа вырождения.
Пусть R3 = {ж, у. z]. Эллиптические координаты Якоби задаются уравнением
+ + = а > Ь > с > 0 . (7.12)
а - А о - А с - А
Положим а = ad+d2, 6 = /3d+d2, с = 2d2, А = pd+d2 и сместим начало
координат в точку (0, 0,d), т. е. сделаем замену х = х'. у = у1, z = z' -
d. Перейдем в уравнении (7.12) к новым координатам и затем устремим d к
бесконечности. В пределе получим семейство поверхностей / ,ч2 /
/\2
^- + -^J- = -p+2z' . (7.13)
а - р /3 - р
Уравнение (7.13) задает три различных семейства параболоидов. Через
каждую точку R3 проходят три поверхности из этих семейств, ортогонально
пересекающие друг друга. Эллиптические координаты Якоби при d -> оо
переходят в новые координаты МъМ2>Мз> которые называются параболическими.
Укажем две задачи, решаемые методом разделения переменных с
использованием параболических координат.
1) Задача Кеплера в однородном силовом поле: речь идет о движении точки
под действием гравитационного притяжения неподвижного центра и
дополнительной силы, постоянной по величине и направлению; она решена
Лагранжем в 1766 году. Есть еще один аспект этой задачи: атом водорода в
однородном электрическом поле.
2) Задача о движении тяжелой материальной точки по параболоиду (7.13) с
вертикальной осью. Она проинтегрирована Пенлеве (1895 г.). Детальный
анализ движения параболоидного маятника можно найти в работе Чаплыгина
[171].
Отметим еще один предельный случай эллиптических координат, когда
параметры а > Ь > с > 0 неограниченно сближаются (например, а -" 6 + 0, с
-> 6 - 0). В пределе уравнение (7.12) для эллиптических координат А будет
иметь один изолированный корень и двукратный корень А = -6. При этом
семейство эллипсоидов превратится в семейство концентрических сфер с
центром в начале координат, а одно- и двуполостные гиперболоиды вида
(7.12) - в эллиптические конусы. В результате возникнут криволинейные
ортогональные координаты в R3, которые называются коническими
(подробности можно найти, например, в [133, гл. 5]).
104
§ 8. Представление Гейзенберга
С помощью конических координат К. Нейманом решена задача о движении точки
по сфере в К3 в силовом поле, потенциальная энергия которого -
квадратичная функция от координат х, у, z (1859 г.). Эта задача вполне
интегрируема и в многомерном случае (см. [131]).
§ 8. Представление Гейзенберга
В этом параграфе речь пойдет об эффективном методе интегрирования
гамильтоновых систем, основанном на представлении Гейзенберга
(эквивалентные термины: представление Лакса, метод изоспектральной
деформации, метод L - Л-пары).
1. Представлением Гейзенберга системы дифференциальных уравнений
х = v(x,t) , х 6 Мп , (8-1)
называется пара квадратных матриц L и А, удовлетворяющих следующим
условиям:
(1) элементы матриц L и А - гладкие (комплекснозначные) функции от х и t\
(2) выполнено тождество
L=[A,L], (8.2)
где элементы матрицы L суть производные от элементов L в силу системы
(8.1), a [A, L] = AL - LA.
Ясно, что решения системы (8.1) удовлетворяют уравнению
(8.2). Чтобы исключить тривиальные случаи (например, L - 0), введем
понятие точного представления, когда все решения уравнения (8.2)
удовлетворяют (8.1).
Дифференциальные уравнения вида (8.2) встретились во всей общности
впервые, по-видимому, в квантовой механике в связи с анализом
гейзенберговой картины движения, когда наблюдаемые зависят от времени, а
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed