Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
поскольку х = dF/dy = и(х), у = -dF/dx = - (du/dx)T у. Инвариантная
поверхность I = {у = 0} С М диффеоморфна N. Диффеоморфизм (х, 0) -* х
позволяет отождествить ограничение гамильтоновой системы (3.24) на
поверхность I с исходной динамической системой на N.
Пусть щ,... ,ип - поля на N, и Е\ = у-щ,... ,Fn - у-ип - соответствующие
функции на М. Нетрудно проверить, что { Е', Е)} =
83
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
= у • [ui,Uj]. Если [ui,Uj\ = то {Fi<Fj} = -Y,ci]Fk- Мно-
гообразие I = {х,у : F\ = ... = Fn = 0} = {у = 0} является инвариантным
для гамильтоновой системы с гамильтонианом F\. Применяя теорему 1 к
множеству I и отождествляя I с N, получим обобщенную теорему Ли.
Таким образом, теорему 1 можно рассматривать как гамильтонов вариант
теоремы Ли.
7. В качестве примера рассмотрим задачу о движении по прямой трех точек,
притягивающихся с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между
ними. Пусть ж,- - координаты, т,- - массы, yi = трх{- импульсы точек.
Потенциальная энергия
V имеет вид У (а,, = const). Рассмотрим три функции
i<j [Г - xj)
И] = Y.yV2mi + ^ F2 = Y.XiVi-: F'i = Т,Ун Ясно, ЧТО Fx - ПОЛ-ная энергия
системы, 2Г] = ^'^2n4xj, Fj- суммарный импульс. Нетрудно проверить, что
эти функции независимы, и
{FbF3}=0, {F2,F3} = -F3, {FbF2}=2Fi. (3.25)
Соответствующая алгебра Ли А разрешима, поскольку А Э В D D С D {0}, где
одномерная алгебра С порождается функцией Fi, а двумерная подалгебра В
порождается функциями F\ и F3. Подалгебры В и С в силу (3.25) являются
идеалами коразмерности 1 соответственно в А и В.
Согласно теореме 1, движения трех точек, лежащие на нулевых уровнях
интегралов энергии и площадей, можно найти квадратурами. Эту возможность
нетрудно реализовать непосредственно. Отметим, что в рассмотренном
примере потенциал V можно заменить произвольной однородной функцией
степени -2 относительно разностей х,¦ - xj.
8. Современное систематическое изложение применений теории групп Ли к
дифференциальным уравнениям (в том числе в частных производных)
содержится в [141]. Анализ приемов точного интегрирования уравнений
классической динамики с точки зрения теории групп и алгебр Ли проведен в
монографии [144].
§ 4. Полная интегрируемость
1. Пусть М - симплектическое многообразие, и Fj,..., Fn - независимые
функции на М, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли С,Х1(М), т.
е. {F^F,} = YlcijFk (с,у = const). В каждой точке'ж € М векторы )С
А,?;/.-. образуют п-мерное линейное подпространство П(ж) в ТХМ.
Распределение плоскостей П "инво-лютивно", т. е. чз X.Y € П следует [А,
У] € П. Следовательно, по теореме Фробениуса, через каждую точку х 6 М
проходит мак-
84
§ 4¦ Полная интегрируемость
симальное интегральное многообразие Nx распределения П. Многообразия Nx
могут быть погружены в М весьма сложным образом; так, они не обязательно
замкнуты. При п = (dim М)/2 среди интегральных многообразий распределения
П есть замкнутые поверхности Ма = {х ? М : Fi(x) = a,-, J2cijak = 0}.
Если х ? Ма, то Nx совпадает с одной из связных компонент Ма. В случае,
когда функции Fi,..., Fn попарно коммутируют, всё М расслоено на
замкнутые многообразия Ма, строение которых описывает
Т е о р е м а 1. Пусть гладкие функции F\,..., Fn: М -> R находятся в
инволюции: {FuFj} = 0 (1 ^ i,j ^ п) и dim М - 2п. Если
1) они независимы на Ма;
2) гамильтоновы поля Vp{ (1 ^ г ^ п) нестеснены на Ма,
то
1) каждая связная компонента Ма диффеоморфна х T"~fc;
2) на К* х Tn~k существуют такие координаты 2/i,...,2/*; ipi,..., (fin-к
mod 27г, в которых уравнение Гамильтона х = vpt (х) имеет вид ym = cmi,
ф, = шд (cmi,= const).
Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти " например, в
книгах [11, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д*' (tj ? №),
являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей vp.. Функции Fi,...,
Fn находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма. Следовательно,
группы д, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено
действие д, на Ма. В силу условия 2), значения g,-' (х) (х ? Ма)
определены при всех ?,. Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы д,
и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой
n-мерной группы IRn = {tb...,tn}: gtl'-'tn(x) = д\1 ...дь*(х).
Согласно условию 1), градиенты функций F\,...,Fn независимы во всех
точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,... ,vn также линейно
независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма выводится, что
действие группы R" на Ма.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма
диффеоморфно фактормногообразию Кп/Г, где Г - стационарная группа
действия IRn (она состоит из точек s ? К", для которых д*х = х). Поля
v\,...,vn независимы, поэтому Г - дискретная подгруппа в К", изоморфная,
как известно, 1} (0 ^ к п). Таким образом, Ма ~ Жп/Ък = Т* х IRn-i.
Равномерно меняющиеся "глобальные" координаты mod 27т, у линейно
выражаются через Н,... ,tn. Полагая tj = const при всех j ф г, получаем
