Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 32

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 172 >> Следующая

(3.1) в траектории той же системы. Поэтому поле и можно рассматривать как
обобщенное поле симметрий системы (3.1).
В соответствии с последним замечанием, теорема Ли из п. 2 допускает
следующее обобщение. Пусть линейно независимые векторные поля v,ui,...,
ип-1 порождают разрешимую 71-мерную алгебру Ли, причем [г>,щ] = А*.г> (А
= const). Тогда система дифференциальных уравнений (3.1) интегрируется в
квадратурах. Читатель самостоятельно может провести доказательство
обобщенной теоремы Ли методом п. 2.
4. Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности каждой неособой
точки векторного поля v система (3.1) имеет п-мер> чую абелеву группу
симметрий. Таким образом, задача о существовании гладкого (или
аналитического) поля симметрий является содержательной либо в окрестности
равновесия, либо во всем фазовом пространстве.
Приведем два простых примера динамических систем, допускающих
нетривиальные аналитические поля симметрий, но не имеющих непостоянных
непрерывных интегралов.
а) Рассмотрим условно-периодическое движение на п-мерном торе Т" =
{(ад,...,хп) mod 27т}, задаваемое системой ад = ад (1 г ^ п) с
независимыми над кольцом целых чисел постоянными частотами од (ср. с п. 1
§ 1). Эта система эргодична на Т'г и поэтому не допускает даже измеримых
(а не только непрерывных) непостоянных первых интегралов. Однако, любое
постоянное (в координатах ад,.. ., хп) векторное поле на Т'1 является ее
полем симметрий.
б) Пусть v(x) = Ах, причем все собственные значения постоянного оператора
А лежат в левой (или правой) полуплоскости.
79
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Ввиду асимптотической устойчивости равновесия х = 0 при t -" -> +00 (или
t -" -00), соответствующая система (3.1) не имеет непостоянных
непрерывных интегралов. Действительно, пусть /(х)- первый интеграл, то -
любая точка К", a x(t) - решение
(3.1) с начальным условием х(0) = хо- Так как x(t) -> 0 при t-> -" +00 (t
-> -00), то (ввиду непрерывности /) f(x(t)) -> /(0) при t -> +00 (t -> -
00). Поскольку f(x(t)) постоянна как функция ?, то /(х0) = /(0) для всех
то. Следовательно, /(т) = const. С другой стороны, поле и(х) = т - поле
симметрий линейной системы х = Ах\ оно порождает группу растяжений х ->
егт, т Е К.
Более интересный пример доставляет гамильтонова система из п. 3 § 1,
имеющая в целом интегралы лишь конечной гладкости. Однако, нетривиальная
группа преобразований у -" у + а, т -" т, t -* t является ее группой
симметрий. Она порождается векторным полем с компонентами 1,0, 0 в
координатах y,x,t-
Говоря о "нетривиальной" группе симметрий, мы предполагаем, что ее поле и
линейно независимо с полем и. Заметим, что если и = \(x)v и [м,а] = 0, то
Л - первый интеграл системы (3.1).
Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных
уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В
качестве примера рассмотрим на двумерном торе Т2 = {х\,х2 mod 2тг}
динамическую систему вида
где u>i - const, R - положительная аналитическая функция на Т2.
поэтому является локально гамильтоновой. А. Н. Колмогоров [108] доказал,
что для почти всех значений система (3.19) приво-
дится к виду
Следовательно, в этих случаях уравнения (3.19) допускают нетривиальное
поле симметрий с аналитическими компонентами. С другой стороны, в [108]
показано, что при надлежащем выборе иррационального loi/u>2 и
аналитической функции R система (3.19) приводится к виду (3.20) k-кратно
дифференцируемым, но не дифференцируемым (к + 1)-кратно, преобразованием
тора Т2 в себя.
Предположим, что система (3.19) имеет поле симметрий с дифференцируемыми
компонентами Х[ и Х2. Эти функции 2ж-периодичны по х\ и х2. Условия
коммутирования векторных полей
Х\ = ujiR , х2 = ^2R >
(3.19)
Эта система имеет инвариантную
xi = Ai , х2 = Л2 , А,- = 47г202г//тез(Т2) . (3.20)
80
§ 3. Группы симметрий
(cj\R,oj2R) и (Xi,X2) сводятся к двум соотношениям:
9Х\ 8R ^ v dR /ool4
Lw"-^7 = <j2L^- (3-21)
Положим <p = ^2^1 - ш\Х2. Тогда --a>i + --lj2 = 0. Если от-
8x\ ox2
ношение u}\/u)2 иррационально, то ip = const. Положим X\ = u\S.
Следовательно, X2 = uj2S + p, p - const. Ввиду (3.21), функция
OS 8N dN ЛГ
S удовлетворяет уравнению > -- - b > ц-------b Pj.-, iV =
с/ it> j С/2" (/ 2
= In R. Его решение будем искать в виде произведения KR. Для
дК дК 8F
отыскания функции К получим уравнение --+ --ш2 = р--,
ОХ 1 ОХ 2 $Х2
F - - 1/Л. Будем решать его методом Фурье. Положим
^ = ^ > ^mim2^m[m2 i ^ ~ ^ ^ У*т1т2^т1Ш2 )
1711,1712 1711,1712
где emim2 = exp[t(mia:i + т2х2)\. При |т| = |mi| + \т2\ ф 0 имеем ^Vni
1712 = pm2frnim2/{miuJx + т2и)2).
Если p = 0, то К = const, поэтому поле симметрий будет отличаться от
исходного поля (3.19) постоянным множителем. Оставляя в стороне этот
тривиальный случай, будем считать р ^ 0. Положим при т2 ф 0 |ni2/m,m2|
= e_!mL Можно показать, что тогда,
в зависимости от диофантовых свойств иррационального отношения из\/из2,
числа fcmim2 будут коэффициентами Фурье функции из класса С", но не Cn+1
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed