Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
решения гамильтоновой системы х = ьфх) как линейные функции времени t,- =
t.
Гамильтонова система с гамильтонианом Н = F, (1 ^ г ^ п) называется
вполне интегрируемой.
85
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
2. Наиболее интересен случай, когда Ма компактно. Тогда к = = 0,
следовательно, Ма ~ Т". Равномерное движение на Т" = = {<р mod 27г} по
закону <?>,¦ = + wtt (1 ^ г ^ п) называется
условно-периодическим. Числа ш\,..., и>" - его частоты. Хор с набором
частот u>i,...,u>" называется нерезонансным, если из равенства ^2 kiU>j =
0 с целыми ki,...,kn вытекает, что все к{ равны нулю. На нерезонансных
торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является
простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю:
пусть /: Тп -> -> Е - интегрируемая по Риману функция, <jJ\ ,..., шп -
рационально независимые числа. Тогда для любой точки <р° € Т" предел
lim - I dt существует и равен 77--т- / f(y>) d<p\... d<pn.
s J0 (27Tjn Jt*
Пусть, в частности, / - характеристическая функция измеримой по Жордану
области D на Т". Применяя к / теорему Вейля, получим следующее
утверждение: средняя доля времени, которое фазовая траектория проводит в
D, пропорциональна мере D. Этот факт характеризует свойство равномерного
распределения траекторий на нерезонансных торах. Если тор резонансный,
фазовые траектории заполняют торы меньшей размерности.
Теорека 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и интегральное многообразие
Ма компактно. Тогда:
1) малая окрестность многообразия Ма в симплектическом многообразии М
диффеоморфна прямому произведению D х Тп, где D -малая область в Е";
2) в. D х Т" существуют симплектические координаты I, <р mod 27г (I G D,
<р е Т"), в которых функции Fi,...,Fn зависят лишь от I, а
симплектическая структура имеет вид dl Л d<p.
В частности, в переменных I, mod 2тг функция Гамильтона вполне
интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид Н = Н{1). При
этом / = -dH/dip = 0, ф = 8H/dI = = ш(1). Следовательно, I(t) = /0, uj(I)
= со(Io). Переменные /, "нумерующие" инвариантные торы в D х Т",
называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты <р -
угловыми переменными, вместе они называются переменными действие - угол.
Доказательство теоремы 2. В окрестности тора Ma ~ Т" за координаты можно
принять функции /, = F, и углы
mod 27г, существующие по теореме 1. Ввиду линейной независимости dFi,
функции Ii,<fii (1 ^ г ^ п) задают диффеоморфизм окрестности Ма на прямое
произведение D х Тт" (D - область в Е" = {/}). Введем в рассмотрение
невырожденную матрицу скобок Пуассона
{liJj} {T-'-fj} 0 a,j
{'А'1 Ij} (1, { b{j
86
§ 4- Полная интегрируемость
Согласно теореме 1, скобки {Д,<^} постоянны на АД; следовательно, аг] =
а^(1). Покажем, что by тоже зависят лишь от I. Действительно, из
тождества Якоби {Fm, {<р,-, <?,}} + {<рг-, {tpj, Fm}} + г {<pj , {Fm,
<р,}} = 0 следует, что скобки {Fm, Ьг] } = а(tm) не зависят
от <р. С другой стороны, аП = ? |^-{Fm,<pg} = Е ат.<- Так
как det ||amj>|| Ф 0, то отсюда найдем dby/dps как функции только
I. Следовательно, by = {<Pi,<Pj} = Е fijiO'-P" + Поскольку
dipi - однозначные 1-формы вблизи Ма, то /б = 0.
Выполним замену переменных Д = Д(.Д,..., Jn) так, чтобы = <%• Для этого
надо решить систему уравнений (I) -
= {Iг, р3 } - Е тгу-Е = тгу • Условие разрешимости этой системы
С/ ^ С/ t/j
^-' ddij ^
ЕЕ = ЕЕ ^ ^ ад аь = ^ ад
*¦ J к к
вытекает из тождества Якоби, примененного к Д, ipj и
Если переменные <р,- не коммутируют, следует выполнить переход к новым
угловым координатам ф{ mod 27т с помощью сдвига щ = фг + fi(J)-
Функции /, определяются системой уравнений
г dfi dfj V
Оц = ----. Условием ее локальной разрешимости является
oJj dJj
замкнутость 2-формы ^bydli hdlj, вытекающая из замкнутости исходной
симплектической структуры. Итак, существование симп-лектических
переменных действие - угол Д ф mod 27т полностью доказано.
Замечание. Пусть p,q - симплектические координаты в IR2n, и пусть
7i,...,7п - непрерывно зависящие от постоянных а = (ах,..., ап) базисные
циклы на Ма. Форма pdq - I dip замкнута, поэтому разность <f pdq - f I
dip = § pdq - 2ttIs постоянна. Следовательно,
I" = ^?pdq, 1 sj s sj n, (4.1)
поскольку переменные действия сами определены с точностью до аддитивной
постоянной. Формулы (4.1) наиболее эффективны при анализе систем с
разделенными переменными (см. § 7).
Гамильтонова система с функцией Гамильтона Н(1) называ-
ется невырожденной (в области D х Тп), если якобиан тгт = д2 Н
= det не обращается в нуль в области D. В этом случае
ЭР
87
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
почти все (в смысле меры Лебега) инвариантные торы нерезонансны, а
резонансные торы всюду плотны в D х Тп.
3. Согласно П. Волю, непрерывная функция t -> g(t), t ? К, называется
условно-периодической, если g(t) = /(од!,..., сant), где / - некоторая
непрерывная функция на n-мерном торе Тп = = {<pi,..., <pn mod 2п},
