Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Jti
Этот вариационный принцип можно вывести из классического принципа
стационарного действия Г амильтона.
Если поле и стационарно, то уравнения (2.5) гамильтоновы и к ним снова
можно применить развитую выше теорию.
§ 3. Группы симметрий
1. Рассмотрим динамическую систему на n-мерном фазовом пространстве,
заданную дифференциальным уравнением
х = v(x) . (3.1)
Векторное поле и, коммутирующее с полем v ([u, v] = 0, где [ , ] -
коммутатор векторных полей; см. п. 4 § 2), называется полем симметрий
системы (3.1). Покажем, что фазовый поток системы
dx , . .
- = и{х) (3.2)
- однопараметрическая группа преобразований дТи - переводит решения
системы (3.1) в решения той же системы. Для этого воспользуемся теоремой
о выпрямлении: локально приведем уравнения (3.2) к виду
dx 1 dx 2 dxn-1 " dxn , .
V = = (X3>
Так как [гг,т>] = 0, то в этих переменных компоненты v\,...,vn векторного
поля v не зависят от хп. Следовательно, в результате преобразований х\ ->
х\, ..., хп-\ -" тп_1, хп -> хп + т решения системы (3.1) действительно
переходят в решения той же системы.
Наличие группы симметрий существенно упрощает исследование динамической
системы. Например, в тех же специальных переменных xi,... ,хп подсистема
дифференциальных уравнений
хк = vk(xi,... ,xn-i) , к^п- 1, (3.4)
замкнута. Если нам удастся проинтегрировать систему (3.4), то оставшаяся
переменная хп будет найдена простой квадратурой: Хп = /о Vn(x\, . . .,Xn-
\)dt + х°п.
С геометрической точки зрения понижение порядка системы с группой
симметрии дт означает факторизацию ее фазового пространства по орбитам
этой группы. Правда, конструктивное понижение порядка упирается в задачу
отыскания траекторий системы
(3.2) (орбит группы дти).
74
§ 3. Группы симметрий
2. Пусть имеется еще одно поле симметрий га, и [и, ги] = Ли, где А -
некоторая функция от х. Воспользуемся локальными координатами xi,..., х",
в которых система (3.2) принимает вид (3.3); в )гих координатах
компоненты "л..... п:п , поля w не зависят от "п. Легко понять, что
фазовый поток системы уравнений
dx\ . dxn-\ , .
^j~~ (^11 ' * * 1 З'П- l) i * ' * 1 ~ ~{ot ' ^ ' " ' 1
l)
является группой симметрий системы (3.4). Используя это обстоятельство,
можно понизить порядок исходной системы уравнений на две единицы.
Эти наблюдения приводят к следующей важной конструкции, предложенной
Софусом Ли. Пусть щ,..., u"_i -такие линейно
независимые поля симметрий системы (3.1), что [м,-, и3} - cijuk,
к
= const. Пусть А - линейное пространство векторных полей
п- 1
вида )Г) csUg (с, ? К). Это (п - 1)-мерное пространство является "=1
алгеброй Ли относительно операции умножения [ , ].
Напомним определение разрешимой алгебры Ли. Пусть В и С - подалгебры
алгебры А. Множество С С В называется идеалом алгебры В, если для всех /
? С, д ? В коммутатор [/,<?] лежит в С. Алгебра А называется разрешимой,
если существует такая последовательность А = Ао D Aj Э .. • Э А к ~ {0}
подалгебр А, что Aj+i - идеал коразмерности 1 в А,- (г = 0,..., к - 1). В
частности, разрешимы коммутативные алгебры ([/,ff] = 0 для всех /,</€ А).
Теорема (Ли). Если система дифференциальных уравнений (3.1) допускает (п
- 1 )-мерную разрешимую алгебру полей симметрий, tq она интегрируется в
квадратурах.
Интегрирование в квадратурах - это отыскание решений с помощью
"алгебраических" операций (включая обращение функций) и "квадратур", т.
е. вычисления интегралов известных функций. Это определение
интегрируемости формально носит локальный характер. Решение в квадратурах
дифференциального уравнения на многообразии означает его интегрирование в
любых локальных координатах. Мы считаем, что переход от одних локальных
координат к другим является "алгебраической" операцией.
Из теоремы Ли вытекает важное
Следствие. Пусть щ,..., un - - линейно независимые коммутирующие поля.
Тогда каждая из систем дифференциальных уравнений х = щ(х) (1 k sC п)
интегрируется в квадратурах.
Доказательство теоремы Ли разобьем на несколько этапов.
75
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
а) Наша цель - решить "явно" уравнение V(F) - 0, где V - оператор
дифференцирования и(х)д/дх. Более точно, надо найти п - 1 независимое
решение Fi,..., Fn-\ этого уравнения.
Введем еще п - 1 линейный дифференциальный оператор Ь\_ = = щ(х) д/дх.
Алгебра векторных полей скик разрешима, поэтому с помощью линейной
подстановки можно так ввести новые п - 1 полей (будем обозначать их снова
щ,..., u"_i), чтобы имели место соотношения
Кч >uj] =cijui -
[u2,Uj] = c\jUx +C22jU2 ,
[un-l, Uj\ = C^jU: + Cn_ijUn-1 ,
здесь Су = const.
б) Рассмотрим систему уравнений
V(F) = U^F) = ... = Un.2{F) = 0 (3.6)
и покажем, что локально она имеет решение F без критических точек: dF ф
0. Этот результат легко вытекает из теоремы Фробе-ниуса ввиду равенств
(3.5). Однако мы дадим его прямое доказательство.
Поля и, щ,..., ип~ 1 линейно независимы, поэтому ип-2 ф 0. По теореме о
выпрямлении поле гг"_2 локально приводится к виду (0,..., 0,1). Ввиду
