Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
задача о существовании разделенных канонических координат по существу
эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов.
4. Пусть W(q,x) - полный интеграл уравнения (7.3). Положим р = dW/dq.
Так как det \\d2W/dqdx\\ ф 0, то можно (по крайней мере локально)
выразить х через р и q. Положим х\ = F\(p,q), ..., хп = Fn(p,q). Нетрудно
показать, что функции Fi,...,Fn независимы и их попарные скобки Пуассона
равны нулю.
Для того чтобы указать полный набор коммутирующих интегралов в системе с
разделенными переменными, вовсе не обязательно выписывать в явном виде
полное решение уравнения (7.3). Например, в случае (а) из п. 2 ими будут
функции F\ = fi(pi,qi), Я2 = /2(/i(pi, gi),P2, 9г), • • •, Fn = Я, а в
случае (б) -функции F0 = = Я, Еа = /*(ря, q")-Hge{p",qa) (1 ^ s ^ п).
Функции F0, Fu ..., Fn находятся в инволюции, однако (ввиду равенства Fi
+ ... + Fn = 0) не все они независимы. Отбрасывая одну из функций (к ^
1), получим набор независимых интегралов.
При решении задачи Горячева - Чаплыгина (п. 2 § 5) мы использовали
разделение симплектических координат типа (б). Получающийся при этом
дополнительный интеграл - полином третьей (а не второй) степени по
импульсам (ср. с п. 3). Дело в
100
§ 7. Разделение переменных
том, что переход к специальным каноническим координатам не является
расширением преобразования координат в конфигурационном пространстве.
В гамильтоновой системе Штекеля (7.4) п функций Fk =
- образуют полный инволютивный набор интегралов.
?
Итак, если гамильтонова система решается методом Гамильтона- Якоби с
использованием разделения переменных, то в этом случае можно сразу же
выписать (dim М)/2 независимых интегралов в инволюции.
5. Большое число важных задач гамильтоновой механики решены с
использованием эллиптических координат в Rn (или их вырождений).
Эллиптические координаты введены и изучены Якоби [174]. При п = 2 они
были известны еще Эйлеру.
Пусть щ < а2 < ... < а" - различные положительные числа. Для любого х =
(х\,...
, хп) G R" уравне-
ние
" ,
определяет п действительных чисел Ai,...,An, разделяющих щ,..., ап (см.
рис. 9). Числа Ai,...
..., А" служат криволинейными координатами в R". Они называются
эллиптическими координатами Якоби.
Можно показать, что
х^ ^ ^(с/ Ал) / |^(^, щ) •
"=i
.1 = 1
(7.7)
С помощью этой формулы нетрудно вывести соотношение 4 XX* = Yl М.А,, где
и = ГКА- -А") / П(* -А") •
i^9
(7.8)
101
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Отметим любопытную двойственность формул (7.7) и (7.8).
Перейдем теперь к симплектическим координатам А", р, = = МяАя/4. Тогда
кинетическая энергия свободного движения точки в Rn примет следующий вид:
Здесь непосредственно не видно, как симплектические переменные А, р могут
быть разделены. Воспользуемся следующей формулой
Якоби: сумма (А., - Аг) 1 равна нулю при т < п
- 1 и
единице при т = п - 1. С помощью этой формулы равенство (7.9) можно
представить в виде
Здесь Fn^i = Н, a F0, Е\,..., Fn_2 пока произвольны. Те-
перь переменные А, р разделяются: можно положить FmA"! =
п т=О
= 2pj П(^" ~ Gj )• Из этой системы найдем Fq, /ц,..., Гп 2 как
функции А, р\ они дадут нам полный набор независимых интегралов в
инволюции.
Из этого результата можно вывести теорему Якоби о полной интегрируемости
задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида при
отсутствии внешних сил. Действительно, зафиксируем значение переменной Ар
положив, например, Ai = 0. Тогда Аг,..., А" будут криволинейными
ортогональными коорди-
п д>2
натами на поверхности (п - 1)-мерного эллипсоида У' -т = 1.
.,=1 о;
Гамильтониан задачи Якоби дается формулой (7.9), в которой надо положить
Ai = 0, р\ = 0. Разделение переменных Аг,..., Ап, цг, • • •, Мп
осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что для двумерного
эллипсоида гамильтониан принимает вид (7.5): при п = 3 получаем
лиувиллеву гамильтонову систему. Если зафиксировать значение одной из
переменных Аг,..., Ап, то тем же методом получим полную интегрируемость
задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов.
Результаты качественного анализа (основанного на формулах Якоби)
поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида можно найти
в [11]. Якоби показал, что задача о движении по
(7.9)
гг-1
102
§ 7. Разделение переменных
инерции по эллипсоиду останется интегрируемой, если на точку будет
действовать упругая сила, линия действия которой проходит через центр
эллипсоида (см. [174]).
В качестве еще одного применения эллиптических координат рассмотрим
задачу о плоском движении материальной точки в поле притяжения двух
неподвижных центров; эта задача была проинтегрирована Эйлером в 1760 г.
Пусть Xi,x2 -декартовы координаты в плоскости движения, (0, с), (0, - с)-
координаты притягивающих центров (с > 0). Перейдем к эллиптическим
координатам в плоскости К2 = {х\,Х2}, считая, что а2 - а\ - 2с. Это
означает, в частности, что при фиксированных значениях Л уравнение xi/(ai
