Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
(3.5), в новых координатах xi,...,xn компоненты векторных полей v, щ,...,
ип-з не зависят от хп, т. е. эти поля можно рассматривать в (гг - 1)-
мерном пространстве переменных xi,... ,жп_1, и для них снова будут
справедливы коммутационные соотношения (3.5). К полю гг"_3 опять можно
применить теорему о выпрямлении и привести п - 1 первых компонент к виду
(0,..., 0,1), и т. д. В итоге придем к координатам z\,..., zn, в которых
компоненты векторных полей и,щ,..., гг"_2 имеют вид
v = (0,1,* ,...,*) , щ = (0,0,1,
ип-2- (0,0,0, ..., 1) •
В переменных zi,...,zn в качестве искомой функции можно принять F = z\.
в) Покажем, что если F - решение системы уравнений (3.6), то Un^\{F) -
также решение этой системы. Действительно,
76
§ 3. Группы симметрий
К'И у
\V,Un-i) = VUn-i - Un-\V = 0. Следовательно, V(Un-i(F)) = = Un-i(V(F)) ~
Un-i(0) = 0. Далее, согласно (3.5), UiUn-i(F) - ~ Un_iUi(F) = с} "^СДТ).
Поэтому UxUn-\{F) = 0. Аналогично доказывается, что Un i (F) = 0 для всех
к < п - 1.
Пусть G - решение (3.6), dG ф 0. Тогда <p(G) = Un-\(G) ф О (в противном
случае dG = 0 ввиду линейной независимости по-
fG
V, щ,... , щ, А. Положим F = / -т-г. Так как F-функция
JG
от G, то F - решение (3.6), причем Un-\(F) = Un..\{G) dF/dG = =
Fn_!(G)/^(G) = 1.
Итак, система уравнений
V(F) = F,(F) = ... = ?/"_2(F) = 0 , t/n_x(F) = 1 (3.7)
имеет решение (по крайней мере локально).
г) Чтобы найти его, положим
, , dF dF
V{F) = ^ +-+ *"вГ = 0'
L/ Ц_/ j L/tbjj
9F
1/1 (F) = +-"+ =0- <3-8>
5F 0F
Un-l(-* ) ^n-1,1 Л * "b ^n-l,n о -
C/Xj\
Поля v, m,..., un-\ линейно независимы, поэтому из линейной системы
уравнений (3.8) найдем частные производные
dF/дхi=?i(x), ..., dF/dxn = ?п(т) . (3.9)
Эта задача -чисто алгебраическая. Далее, 1-форма ?i dx\ +
+ ?ndxn локально точна. Как хорошо известно из анализа, с помощью
квадратур восстанавливается функция F, удовлетворяющая (3.9).
д) Пусть Fi(ti, ..., хп) - решение системы (3.7). Тогда dF\ ф 0 и можно
считать, что dF\/dxn ф 0. Выполним замену переменных 2/1 = xi, ..., 2/п-л
= ж"-1, уп - Fi(x\,... ,хп). В новых переменных
- 9 ~ 9 V = v\ - + ... + vn -,
иу\ иуп
и' " "иё^ + + <зл0)
''.......^...д................... д'
Un-2 - Un-2,la----1- ••• + н"-2,п7-•
oyi дуп
77
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Так как V(yn) = Ux(yn) = ... = Un-2(yn) = 0, то vn = щ<п = ... = = йп-2п
= 0, поэтому в формулы для операторов (ЗЛО) координата уп входит как
параметр. Выполнив еще раз процедуру, описанную в б)-г), получаем, что
система уравнений
V(F2) = Ui(F2) = ... = Un-3{F2) = 0 , Un_2{F2) = 1 (3.11)
имеет решение, которое можно найти с помощью квадратур,
е) Аналогично доказывается разрешимость систем уравнений
V{F3) = UX(F3) = ... = Un.4(F3) = 0 , Un^3(F3) = 1 ;
...................................................... (3-12)
V(Fn-1) = 0, Ui(Fn_i) = 1 .
Из (3.7), (3.11) и (3.12) вытекает, что функции Fx,..., Fn-i независимы и
являются первыми интегралами исходной системы (3.1). Теорема доказана.
3. Предположим, что поля u,v удовлетворяют соотношению
[г>, u] = p.v + ни (3.13)
с некоторыми постоянными р. и. Покажем, что и в этом случае порядок
системы (3.1) можно понизить на единицу.
Воспользуемся координатами хх,...,хп, в которых уравнения
(3.2) приводятся к виду (3.3). Если известно общее решение (3.2), то это
осуществляется в явной форме. В переменных хх,...,хп коммутационное
соотношение (3.13) эквивалентно серии равенств
дщ , dvn
даГ = № ' 1 ^ 1 ^ П ~~ 1; ~дх~ = МVn + V ' (З-14)
где Vi - компоненты поля v. Из (3.14) получаем
Vi = vbi ехр(рлп) , 1 ^ i ^ п-1; vn = v°n ехр(рхп)-н/р ,
(3.15)
где функции v° (1 ^ г ^ п) не зависят от хп. Выполним замену времени dt -
[ехр(р.т")] ds и запишем первое тг - 1 уравнение системы (3.1), обозначая
штрихом дифференцирование по s:
x[=vx , ... , х'п_х = v°n_x ; (3.16)
эту замкнутую систему можно рассматривать как результат понижения порядка
исходной системы (ЗЛ).
Покажем, что если известно общее решение системы (3.16), то уравнения
(3.1) интегрируются в квадратурах. Так как v°n не зависит от хп, то
достаточно проинтегрировать уравнение
х'п = ехр{-рхп) + / , (3.17)
78
Группы симметрий
>де / - известная функция s (см. (3.15)). Заменой 2 = ехр(рхп) >то
уравнение приводится к уравнению z' = pf z - и, которое легко
интегрируется. Таким образом, переменные ад находятся явно как Пункции s.
Для того, чтобы выразить ад через исходную переменную t, достаточно
обратить интеграл t = J eJ'Xnds.
В (3.15)-(3.17) предполагалось, что р ф 0. Случай р - 0 триви-! тен.
Рассмотрим более подробно наиболее важный частный случай, когда и = 0. Из
последней формулы (3.15) вытекает, что уравнения 13.16) можно дополнить
уравнением для координаты хп\
х'п = v°n . (3.18)
Гак как п(r),..., v°n не зависят от хп, то фазовый поток дх системы
(3.3) переводит решения системы (3.16), (3.18) в решения той же системы.
Возвращаясь к старой переменной времени t, получаем, что дJ переводит
траектории (но не решения) исходной системы
