Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 28

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 172 >> Следующая

момента твердого тела, вращающегося по инерции.
Напомним определение коммутатора векторных полей w и v. Каждому из
векторных полей отвечает линейный дифференциальный оператор Lw = > w,--,
Lv - } г>,--. Оператор LVLW -
OXj OXi
- LWLV также является линейным дифференциальным оператором. Ему отвечает
векторное поле [г>,и>]. Укажем явную формулу для коммутатора L\VtWy.
^^ i \dvjj Ovj \ д
= X, V*-fc. ~ WiQ^. J Щ ¦
Доказательство теоремы 1. Так как rot u х w = 0, то drotu dw
--- х w + rotux = 0. Учитывая (2.4), получаем соотношение
d'lv
rot и х -- [rot(rot и х ti)j х № = 0 . (2-9)
Поскольку rot u х w = 0, то rot(rotu х v) х w - rot(rotw X w) X x v = rot
и x [w, г>]. Следовательно, (2.9) можно представить в виде rot и х (dw/dt
-f \v, w]) = 0. Поле и неособое, поэтому dwjdt -f + [т, w] = aw, где a -
некоторая функция х и t. Положим w = pw0, причем функция p(x,t)
удовлетворяет уравнению
% + - <2Л0)
69
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Тогда wо - искомое вихревое поле. Остается показать разрешимость
уравнения (2.10). Полагая р = ехр?, приходим к уравнению d? д? д?
- = - + -~-v - а, которое легко решается методом характерис-
dt r ot ox
тик. Теорема доказана.
Пусть п - 3 и N имеет структуру обычного евклидова пространства. Тогда
поле и можно отождествить с векторным полем в N, и rot гг будет,
очевидно, одним из вихревых полей. Согласно теореме 1, в этом случае
существует такое векторное поле w, задаваемое уравнением (2.8), что rot
гг = aw.
Теорема 2. Функция а удовлетворяет уравнению нераз-
Оа да
рывности --h div(a-y) -- 0, где diva - след матрицы --.
ot дх
Следствие. Уравнения (2.5) имеют интегральный инвариант fD a d3x.
Доказательство теоремы 2 основано на применении известной формулы
векторного анализа rot (a х b) = [b, а] + adivfc -
bdiva. С
помощью этой формулы и очевидного соотношения div rot u = 0
уравнение (2.4) можно представить в виде
- rot и + [гг, rot гг] + (rot гг) div v - 0 . (2-11)
Положим rot гг = aw. Тогда из (2.11) получим уравнение
(dw \ (да да \
" (ж " [,Л j + (аТ + зГ"+ J w = 0'
^ да да да
Ьсли поле w удовлетворяет (2.8), то ---b --v + adivn -------------1-
dt дх dt
+ div(ac) = 0, что и требовалось доказать.
Все результаты п. 4 являются следствием одного лишь уравнения вихря
(2.4). Они останутся справедливыми и в том случае, если заменить
уравнение (2.4) более общим уравнением
+ юг(Дт) = 0 , (2.12)
где А = HAJ - кососимметрическая матрица, удовлетворяющая условию
дАц dAjk dAki
= о . 2.13
дхк dx-i дх^
Вихревые векторы -- собственные векторы матрицы А с нулевым собственным
значением.
70
§ 2. Инвариантные соотношения
Уравнениями (2.12) описывается, в частности, изменение вектора магнитной
напряженности в среде с бесконечной проводимостью. Вихревыми линиями
здесь являются силовые линии магнитного поля.
5. Рассмотрим стационарный случай: поле и и функция Гамильтона Н не
зависят явно от времени. Справедлива "теорема Бернулли": функция В
постоянна на линиях тока (интегральных кривых векторного поля v(x)) и на
вихревых линиях. Действительно, в предположении стационарности уравнение
(2.3) принимает вид rotu х v = -дВ/дх. Если w - вихревое поле, то
(дВ/дх)и> = = - (rotu х v)w = (rotu х w)v = 0. Аналогично, В = (dB/dx)v =
= -(rotu х v)v = 0 ввиду кососимметричности матрицы rotu.
Покажем, что если точка хо ? N не является критической точкой функции В,
то векторы v(x0) ф 0 и w(x0) ф 0 линейно независимы. Действительно, если
они зависимы, то v - вихревой вектор. Но тогда для любого вектора а имеем
(дВ/дх)а = -(rotuxu)o = 0. Следовательно, dB(xо) = 0, что и требовалось
доказать.
Если В ф const, то естественно рассмотреть распределение касательных к N
плоскостей П(ж), порожденное линейными комбинациями независимых векторов
v(x) и w(x). Так как v и w коммутируют (см. теорему 1), то по теореме
Фробениуса (см. [41]) распределение П интегрируемо. Это означает, что
через каждую точку х ? N проходит единственная интегральная поверхность
Ех этого распределения, которая в каждой своей точке касается векторов v
и w. Если поля v и w полны на Е, то, как известно из топологии, Е
диффеоморфна одной из следующих поверхностей: R2 (плоскость), R х Т1
(цилиндр), Т2 (тор) (см., например, [53]). При этом в некоторых
глобальных координатах на Е линии тока и вихревые линии являются прямыми.
В общем случае поверхности Е могут быть погружены в N весьма сложным
образом. Особый интерес поэтому представляет случай, когда Е замкнуто в
N. Это автоматически выполнено при п = 3: интегральные поверхности Е
совпадают со связными компонентами поверхностей уровня непостоянной
функции В. Эффективное применение этого замечания упирается в
нетривиальный вопрос о существовании нужного нам ковекторного поля и(х)
на всем N.
Теорема Бернулли обобщается на случай, когда поле и является особым: ранг
матрицы rotu (или, более общо, ранг матрицы А из уравнения (2.12)) падает
более чем на единицу. Вихревые векторы в каждой точке х ? N образуют
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed