Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
-" R - некоторая функция, которая должна удовлетворять уравнению вд
8д_
dt+adx~ (х,^ш (1-3)
Пусть F - Fmn exp i(mx + nt), 9 9mn exp i(mx + nt). Тогда
m,n m,n
9mn = Fmn/{i{ma + n)).
Если функция / аналитична, то |Fmn| ^ Ce~p^m^Fn\) с некоторыми
положительными постоянными с, р. С другой стороны, как известно из теории
диофантовых приближений, для почти всех а (в смысле меры Лебега на R)
справедлива оценка |та-Иг| ^ fc(|m| + + lnl)^ (&>7 = const > 0). Поэтому
коэффициенты gmn также экспоненциально быстро убывают с ростом |т| +
[тг|. Следовательно,
для почти всех а тригонометрический ряд )> ------е,(тг+п<)
^ гута + гг)
64
§ 1. Интегралы. Классы интегралов гамильтоновых систем
сходится к аналитическому решению уравнения (1.3). В частности, уравнения
Гамильтона (1.2) допускают однозначный аналитический интеграл.
Однако если а достаточно точно приближается рациональными числами, то
уравнение (1.3) может иметь периодические решения лишь конечной гладкости
или не иметь их вовсе.
Обобщая эти рассуждения, можно указать такую аналитическую функцию / : Т2
-* К и такие всюду плотные в К множества Ми, М1Х>, ..., Мк, ...,МО,М0,
что:
- при а € Ми уравнения Гамильтона (1.2) имеют аналитический однозначный
интеграл;
- при а е М,эо существует бесконечно дифференцируемый интеграл, но нет
интегралов из класса
- при а е Мк существует интеграл класса Ск, но нет интегралов из класса
C-fc+i;
- при а G Мо уравнения (1.2) имеют только локально непостоянную
непрерывную инвариантную функцию;
- при а € Мг нет даже непрерывных интегралов.
Это утверждение в качестве гипотезы высказано в работе [88]. Там же
доказано, что множества Ми и М0 всюду плотны в К. Последнее вытекает из
наличия фазовой траектории, плотно заполняющей расширенное фазовое
пространство. В полном объеме эта гипотеза доказана в работе Н. Г.
Мощевитина [134]; там же указан явный вид функции / и описано строение
множеств Мао,..., Мк,..., Мо, М0, имеющих мощность континуума.
4. Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое
пространство М2п совпадает с пространством кокасательного расслоения
конфигурационного многообразия Nn, а функция Гамильтона квадратично
зависит от канонических импульсов.
Давно подмечено следующее важное обстоятельство: известные интегралы
уравнений динамики-полиномы по импульсам (либо функции от этих
полиномов). Так, например, нётеровы интегралы линейны по импульсам, а
интегралы в гамильтоновых системах, решаемых с помощью разделения
переменных, - квадратичные функции от импульсов. Это наблюдение допускает
обоснование в некоторых важных частных случаях.
а) Рассмотрим движение по инерции; здесь функция Гамильтона Н
совпадает с кинетической энергией Т. Любой аналитический интеграл F можно
представить в виде ряда по однородным формам от импульсов: F = где
Fk - однородная форма степени
к. Из вида уравнений Гамильтона х = дТ/ду, у = -дТ/дх вытекает, что
полная производная от Fk является однородной функцией импульсов У\, - ¦.
,уп степени A:+1. Следовательно, каждая однородная форма разложения Fk
является первым интегралом. Разумеется, не все они независимы.
3 Козлов В. В.
65
Глава П. Интегрирование гамильтоновых систем
б) Предположим, что гамильтонова система с функцией Гамильтона Н - Т(х,
у) + eV(х) имеет интеграл в виде ряда по степеням параметра е:
Г = Fk(x,y)sk • (1-4)
Такая ситуация типична для уравнений динамики. После замены переменных
X -> X , у /е у , t -* t/у/е (1.5)
уравнения Гамильтона с гамильтонианом Т + eV перейдут в уравнения с
гамильтонианом Т +V, а интеграл (1.4) перейдет в функцию Y^Fk(x,x/sy)sk
52Фm{x,y)(y/e)m, где Фш - полиномы по импульсам у. Новая гамильтонова
система не зависит от е, поэтому полиномы Фш являются ее интегралами.
Верно и обратное утверждение: если система с гамильтонианом T + V имеет
полиномиальный интеграл, то система с гамильтонианом T+eV имеет интеграл
в вице степенного ряда (1.4). Для доказательства воспользуемся заменой
переменных, обратной к (1.5). В результате в уравнениях Гамильтона
появится параметр е. После такой замены полиномиальный интеграл с
точностью до несущественного множителя с танет равным F + у/ё Ф, где F и
Ф - аналитические по ? функции. Ясно, что F и Ф-интегралы уравнений
Гамильтона с гамильтонианом Т + eV, причем одна из функций F| _0 илиФ| 0
совпадет со старшей однородной формой исходного полиномиального
интеграла.
Итак, для уравнений динамики естественно рассматривать классы интегралов
в виде полиномов по импульсам с гладкими и однозначными коэффициентами на
конфигурационном пространстве. Такие интегралы будем называть
полиномиальными.
Уиттекер и Биркгоф исследовали задачу о наличии полиномиальных интегралов
первой и второй степени [18, 163]. Отметим, что задача о полиномиальных
интегралах невысокой фиксированной степени может быть решена вполне
элементарными средствами. Однако если степень интеграла заранее не
фиксирована, то эта задача существенно усложняется
