Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
если f{x{t)) = const для всех движений x{t). Если / дифференцируема, то
последнее можно записать в 9f
виде условия f = -г- v = 0.
ох
Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки хо ? М",
не являющейся положением равновесия (г(а;о) ф Ф 0), всегда существуют
координаты xi,...,xn, в которых дифференциальные уравнения приобретают
простейший вид х\ = 1, Х2 = • • • = хп = 0. Поэтому координаты Х2, ¦ ¦.,
хп составляют "полный" набор независимых интегралов: любой интеграл -
функция от Х2, ¦ • •, хп. Проблема интегрирования дифференциальных
уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре)
исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача,
однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с
особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев
можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время
как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов.
62
§ 1. Интегралы. Классы интегралов гамильтоновых систем
Вот простой пример. Пусть М - Т" - n-мерный тор с угловыми координатами
(рх,... ,ipn mod 2тг; динамическая система задается уравнениями
фк - ык = const , 1 ^ А; n , (1-1)
причем частоты несоизмеримы: если = 0 с це-
лыми к{, то все к{ равны нулю. Отметим, что почти все точки (од,..., ып)
6 К" обладают этим свойством. Пусть / : Тп -" К - гладкий интеграл
системы (1.1). Разложим эту функцию в ряд Фурье f = fk^k'^ {к € Ъп) и
продифференцируем в силу системы (l.l): / = Yh Л к)сг(к,ч>) = 0. Так как
(ш,к) ф 0 при всех к ф 0, то / = /о = const. Можно показать, что система
(l.l) не имеет непостоянных непрерывных (и даже измеримых) интегралов.
Дело в том, что каждая фазовая траектория заполняет тор Т" всюду плотно.
С другой стороны, для каждого вектора ш ф 0 найдется п - - 1
ортогональный ему линейно независимый вектор aj,..., ап^\ Е ? Rn: (ах,ы)
= ... = (a"_bш) = 0. Но тогда функции fx = = (аг,(р), ..., /"_! =
(an"i,<p) составят "полный" набор независимых интегралов. Правда, все они
многозначны на Тп.
2. Пусть F : М2п -> К - первый интеграл гамильтоновой системы z =
vjj{z). Оказывается, если dF{z0) ф 0, то в некоторой окрестности точки zo
Е М существуют такие канонические координаты х1,...,хп,у1,...,уп, что
F(x, у) = г/i*). Это утверждение - гамильтонов вариант теоремы о
выпрямлении фазовых траекторий (доказательство можно найти, например, в
[157]).
В этих координатах х, у функция Н не зависит от хх. Таким образом, если
зафиксировать значение F = ух = с, система уравнений хк = дН/дук, ук = -
дН/дхк (к ^ 2) будет гамильтоновой сп. - 1 степенью свободы. Итак, один
интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две
единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при
фиксировании значения F = с, а вторая- за счет исключения сопряженной
циклической переменной х\. Однако эффективное использование интеграла F
для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования
гамильтоновой системы i = vp(z).
Эти замечания можно обобщить: если система имеет s независимых
интегралов, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль, то
локально она приводится к системе с п - s степенями свободы. Понижение
порядка гамильтоновых систем с неинволю-тивным набором интегралов
обсуждается в книге [12].
') В частности, локально (за исключением окрестностей положений
равновесия) функцию Гамильтона всегда можно свести к виду Н = у\.
63
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
3. В приложениях обычно имеют дело с аналитическими гамильтоновыми
системами: фазовое пространство М2п наделено структурой аналитического
многообразия, скобка Пуассона любых двух аналитических функций аналитична
на М2п; наконец, гамильтониан также является аналитической функцией. В
этой ситуации наиболее естественно рассматривать задачу о наличии
интегралов, являющихся аналитическими функциями на М2п. Если
аналитические функции независимы в одной точке, то они независимы почти
всюду. Класс функций, аналитических на М, будем обозначать СШ(М) (или
просто Сш).
Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может
иметь интегралы класса СТ, но не иметь интегралов из класса Сг+Х (мы не
исключаем значение г = 0: непрерывную функцию назовем интегралом, если
она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой
траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с
одной степенью свободы с функцией Гамильтона Н = ay-f + где а -
вещественный параметр, / - аналитическая 27Г-
периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по х и ?, то
естественно принять прямое произведение R х Т2 = {у, х, t mod 27г} в
качестве расширенного фазового пространства.
Запишем в явном виде уравнения Г амильтона:
х = а, у = = -F(x,t) . (1.2)
Они, очевидно, интегрируются в квадратурах: х - at + х0, у = = Уо ~ Jo
F(aT + жо, т) dr.
Будем искать первый интеграл системы (1.2) в виде у + g(x,t), где д : Т2
