Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Биркгоф рассматривал также задачу об условных полиномиальных интегралах
[18, гл. II]. Это полиномы по импульсам, являющиеся интегралами лишь для
некоторых фиксированных значений полной энергии.
§ 2. Инвариантные соотношения
1. Пусть х = и(х), х ? А/ '. - динамическая система,
f I > • * * 1 fm - гладкие функции на Мп. Рассмотрим множество 1С С С А1,
определяемое уравнениями
/i = С] , .... fm = Cm . (2-1)
66
§ 2. Инвариантные соотношения
Если 1с инвариантно относительно фазового потока glv, то
(2.1) называются инвариантными соотношениями (а функции /ь • • • 1 fm -
частными интегралами). Эквивалентное определение: Д = 0 на 1С для всех к
JC т. Это определение принимается и в неавтономном случае.
Оказывается, теория инвариантных соотношений гамильтоновых систем тесно
связана с идеями гидродинамики идеальной жидкости [89, 105].
2. Пусть Nn - конфигурационное многообразие, H(x,y,t) : T*N х Rt -> R-
функция Гамильтона. Предположим, что уравнения Гамильтона с п степенями
свободы
• дН •
х"~8у ' (2'2)
имеют инвариантное многообразие у = u(x,t), где и - гладкое ковекторное
поле на N (или на его части), которое, возможно, зависит от времени.
Свяжем с полем и его ротор - кососимметрическую (п х п)-матрицу rot и =
ди/дх - (ди/дх)Т.
По аналогии со случаем п = 3, результат умножения rot и на вектор w будем
обозначать rot их w.
Введем гладкое поле скорости v на N, положив v(x,t) = х =
. Оказывается, поля и ни удовлетворяют уравнениям
ду
у=и
ди дВ |
--|- rot и х v = --- , B(x,t) = Н\ , (2-3)
dt дх 4 ' 'У=и к 1
д ,
- rot и + rot(rot и х v) - 0 . (2-4)
Действительно, инвариантность многообразия у = u(x,t) экви-
дн
валентна дифференциальному уравнению и - - --
ох
но представить в виде
. Его мож-
у=и
ди ди _ _д? <Ш
dt dxV дх ^ ду
ди__9В_ {duV дх дх ^ I дх)
у=и \ /
Отсюда вытекает уравнение (2.3). Уравнение (2.4) следует из (2.3)
применением ротора к левой и правой частям.
, . дн
Обратно, пусть и(х, t) - поле на М; положим v(x, t) = -гг-
Оу У=и
Если поля и и v удовлетворяют "уравнению Ламба" (2.3), то многообразие I
- {у = u(x,t)} является инвариантным многообразием
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
гамильтоновой системы (2.2). Решения, лежащие на I, находятся
интегрированием дифференциальных уравнений на N:
Уравнения (2.3) для гамильтоновых систем появились впервые, по-видимому,
в вариационном исчислении как условия "согласованности" полей экстремалей
(см. [19], а также [116, гл. X]). Обобщение уравнений Ламба на
негамильтоновы системы содержится в книге [8].
3. Для системы уравнений (2.5) справедлива "теорема Томсона": интеграл
сохраняет свое значение вдоль любого замкнутого подвижного контура 7 С N.
Этот результат вытекает из теоремы Пуанкаре - Картана об интегральном
инварианте гамильтоновых систем (см. п. 4 § 1 гл. I): с помощью формулы у
= и(х, t) контур 7 поднимается до замкнутого контура Г' в фазовом
пространстве Т' N] после этого остается воспользоваться сохранностью
интеграла Jj ydx вдоль подвижного контура Г.
Ковекторное поле и назовем потенциальным, если rot и - 0; локально и =
др/дх, где р- функция от х и t. Справедлива "теорема Лагранжа": если при
t = 0 ковекторное поле u(x,t) потенциально, то оно будет потенциальным
при всех t. В этом случае интеграл (2.6) будет равен нулю для любого
замкнутого контура 7, стягиваемого по N в точку. Теорема Лагранжа -
простое следствие этого замечания и теоремы Томсона. Инвариантное п-
мерное многообразие / = {у = и} с потенциальным полем и называется
лагранжевым.
Подставляя и = др/дх в уравнение (2.3), получим "интеграл Лагранжа -
Коши":
где / - некоторая функция времени. После калибровки р -> р - - f f(t)dt
функцию / можно считать равной нулю. В гамильтоновой механике уравнение
(2.7) (когда / = 0) называется уравнением Гамильтона - Якоби.
4. Вектор w ф 0 называется вихревым, если rot u х w - 0. При нечетном
п вихревые векторы всегда существуют. Поле и назовем неособым, если ранг
матрицы rot и равен п - 1. При п = 3 критерием неособости поля и является
условие rot и ф 0.
х - v(x, t) .
(2.5)
7
(2.6)
(2.7)
68
§ 2. Инвариантные соотношения
В неособом случае вихревые векторы в каждый момент времени образуют
гладкое поле направлений на N. Интегральные кривые этого поля называются
вихревыми линиями. Оказывается, фазовый поток уравнения (2.5) переводит
вихревые линии в вихревые линии. Это утверждение - следствие теоремы
Томсона из п. 3. Оно обобщает известный результат Гельмгольца о
"вмороженнос-ти" вихревых линий в динамике идеальной жидкости.
Вихревые поля w(x, t) определены с точностью до умножения на функции от х
и t. Среди них есть замечательные поля (определенные с точностью до
постоянного множителя), характеристическое свойство которых дает
Теорема 1. При нечетном п в неособом случае найдется вихревое векторное
поле w(x, t), удовлетворяющее уравнению
~ + М= 0, (2.8)
где [ , ] -коммутатор векторных полей на N.
Уравнение (2.8) - аналог уравнения Эйлера для изменения кинетического
