Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 29

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 172 >> Следующая

линейное подпространство Wx С С TXN. В случае постоянства ранга матрицы
rot и (или А) размерность Wx не зависит от х. Таким образом, имеется
распределение касательных пространств. Ввиду (2.13), согласно теореме
Фробениуса, это распределение интегрируемо. Следовательно, конфигу-
71
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
рационное многообразие N расслоено на гладкие регулярные интегральные
многообразия распределения W размерности dim W - - п - rank А\ эти
многообразия естественно назвать вихревыми. Фазовый поток уравнения (2.5)
переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия, а в стационарном
случае функция В постоянна на каждом вихревом многообразии.
6. В качестве примера рассмотрим задачу Эйлера о вращении по инерции
твердого тела вокруг неподвижной точки. Пространством положений N служит
группа 50(3). Кинетический момент твердого тела постоянен в неподвижном
пространстве. Фиксируя его ненулевое постоянное значение, можно
представить кинетический момент тела в подвижном пространстве в виде
функции от положения твердого тела. В результате на группе 50(3)
появляется стационарное трехмерное течение; можно проверить, что оно
вихревое. Функция В в нашей задаче постоянна на 50(3) лишь в том
вырожденном случае, когда тензор инерции шаровой; поэтому в типичной
ситуации rot и хи^О. Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях
Бернулли 1С = {х : В(х) = с}, которые при некритических значениях с
диффеоморфны двумерным торам. Отметим, что критических значений всего
три: они совпадают с энергией вращения твердого тела вокруг главных осей
инерции (при фиксированном значении кинетического момента).
Векторное поле скоростей v и вихревое поле w, определенные на всей группе
50(3), обладают рядом замечательных свойств. Во-первых, фазовый поток
динамической системы х = v(x), х ? ? 50(3), сохраняет двустороннюю
инвариантную меру на группе 50(3). Эта мера инвариантна относительно всех
левых и правых сдвигов группы. В локальных координатах на 50(3)-углах
Эйлера 6,1р,ф-она имеет следующий вид (см. [135, гл. 1]): dp = = sin 6 d6
dip dip. Если положить rotn = aw, то в углах Эйлера функция а равна в
точности sin# (ср. с п. 4, следствие из теоремы 2).
Вихревое поле w, коммутирующее с полем скоростей и, можно описать
соотношениями rotn х w = 0, ?(ги) = const, где ? - это 1-форма udx. Поле
w имеет простой механический смысл: динамическая система х = w(x)
порождает вращения твердого тела с постоянной в неподвижном пространстве
угловой скоростью, направленной вдоль вектора кинетического момента тела.
Все эти результаты нетрудно доказать с использованием локальных координат
на группе 50(3) (скажем, углов Эйлера). Они составляют "вихревую" теорию
волчка Эйлера.
Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли (5,
задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют
нётеровы интегралы (их число равно dim (3), отвечающие левоинвариантным
полям симметрий.
72
§ 2. Инвариантные соотношения
7. Для гамильтоновых систем с тремя степенями свободы имеется
"вихревой" аналог метода Гамильтона - Якоби. Пусть Н(х,у) - функция
Гамильтона. Запишем автономную систему дифференциальных уравнений в
частных производных (2.3):
rot и X
ЭН
ду
У=и
TF (Н\ '
дх \ 'У=и
(2.14)
Например, в обратимом случае, когда Я = (х)УгУз ~ V{x)i
система (2.14) имеет следующий явный вид:
j.k
дщ duj dxi дх;
1 д
2 дх,-
tfkujUk
Ьк
+
dv
dxi '
1 ^ г,у, к ^ 3 .
Теорема 3. Пусть найдено трехпараметрическое семейство решений u(x, a)
системы (2.14), обладающее следующими свойствами: 1) det ||$u/<9a|| ф 0;
2) dTH(x,u(x,a)) ф 0.
Тогда уравнения Гамильтона с гамильтонианом Н интегрируются в
квадратурах.
Предположим, что найдено "полное" потенциальное решение
системы (2.14): u(x,a) = -S(x,a). Тогда из (2.14) получаем "ин-
( 9 \
геграл Лагранжа - Коши": Я х, ~S(x,a) ) = h(a). Это - ста-
V дх )
ционарное уравнение Гамильтона-Якоби. Функция S(x, a) -его
полный интеграл, поскольку det
ди
да
= det
d2s
дхда
Ф 0. Однако
в потенциальном случае не выполнено условие 2) теоремы.
Доказательство теоремы 3. Согласно предположению 1), из уравнений у{ =
ифх^, х2, х3, ад, "2,0:3) (1 ^ ^ 3) можно
на;йти (по крайней мере локально) ад как функции от х) у: ад = = Fk(x,y).
Из результатов п. 2 вытекает, что функции Fk-интегралы рассматриваемой
гамильтоновой системы. Согласно условию 2), функции Fi, F2, Fi, Я
независимы. Остается воспользоваться известной теоремой Эйлера - Якоби об
интегрируемости автономной системы п дифференциальных уравнений с
инвариантной мерой и п - 2 независимыми интегралами ([174, 12-я лекция]).
8. Уравнение (2.3) совпадает с уравнением Биркгофа (9.3) гл. 1.
Следовательно, оно описывает экстремали вариационной задачи
idx - В dt = 0 , dx'(C) = 6x(t2) = 0
73
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Следовательно, оно описывает экстремали вариационной задачи
л2
6 I udx - Вdt = 0 , 6x{t\) = Sxfa) = 0 .
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed