Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
коммутируют.
Рассмотрим подробнее частный случай задачи четырех вихрей, когда сумма
интенсивностей Г, равна нулю. Тогда интегралы Рх
92
§ 5. Примеры вполне интегрируемых систем
¦л Ру находятся в инволюции. Если их постоянные равны нулю, то уравнения
движения четырех вихрей оказываются интегрируемыми по Лиувиллю. Идея
решения основана на применении подходящего линейного канонического
преобразования, хорошо известно-, о в небесной механике в связи с
"исключением" движения центра ¦часе задачи п тел. Пусть, для
определенности, Г) = Г2 = - Г3 = _ -Г4 - - 1. Рассмотрим линейное
каноническое преобразование г, у -> а, Д согласно формулам
В новых координатах РТ = "2, Ру - аЛ. Следовательно, функция Гамильтона Н
не зависи т от сопряженных переменных [32 и Д4. Таким образом, число
степеней свободы понижено на две единицы: получено зависящее от двух
параметров "2 и 04 семейство гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы. Симплектическими координатами являются переменные а\, аз, Pi,
Д3. При а2 = а4 = О Функция М является интегралом "приведенной" системы.
Следовательно, э та гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне
интегрируема. В частности, функции ai,аз,Д1,Дз|4 можно найти с помощью
квадратур. Оставшиеся "циклические" координаты /?2 и Д4 ввиду формул -
дК/да2, Д4 = дК/да^ K(a,f3) = -- Н(х,у)\а р находятся простым
интегрированием.
5. Рассмотрим еще гамильтоновы системы с двумя степенями свободы,
функция Гамильтона которых имеет вид
Соответствующие уравнения Гамильтона описывают движение материальной
точки по евклидовой плоскости К2 = {х, у) в силовом поле с потенциалом
третьей степени. Среди таких систем находится уже известная нам система
Хенона - Хейлеса (а = 6 = = -? = 1). Перечислим известные случаи
интегрируемости.
1) а - 6, ? = 1. Уравнения Гамильтона разделяются после перехода к
переменным х - у и х + у (И. Аайзава и Н. Саито, 1972 г.), поэтому
имеется дополнительный интеграл, квадратичный по импульсам.
2) е = 6, а и b - произвольные. Имеется интеграл, найденный Д. Грином: х4
+ 4х2у2 + 4рх(рху-рух)-4ах2 у + {4а-Ъ)(р2 + ах2). Как заметил И. Трев,
при Ь = 4а уравнения Гамильтона разделяются в параболических координатах.
¦п -~Рл ,
^ Дз - Д-1 1
хг = f"i + П'2 -- Д4
;г4 --rtj -f Д3 - Д4
У\ =-as - a4 4- Д2 i
Уг = <4 - Pi + P2 , Уз = P2 ,
Ik = ~ Д1 + P2 •
a, i>, ? = const .
93
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
3) е - 16, b = 16а. Дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень
по импульсам, найден Л. Холлом [200]. Вот его вид при Ь = 1:
1 , (х1 . г \ г 4 3 ж4 4 4 8fi 16 4 ,
4Рх VT + у) Рх ~ зх РхРу + Т ~~ 3х У ~ 9 з~у '
§ 6. Изоморфизмы некоторых интегрируемых гамильтоновых систем
Локальные изоморфизмы невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых
систем, о которых шла речь в п. 5 введения, в ряде случаев могут быть
продолжены до изоморфизмов в целом. Приведем соответствующие примеры.
1. Рассмотрим задачу Якоби о движении материальной точки с единичной
массой по инерции по поверхности эллипсоида ах2 + + by2 + cz2 = 1. Пусть
ж, у, z. PxiPyiPz -естественные избыточные канонические переменные (см.
п. 9, § 1, гл. I). После канонической замены переменных pi = рх/^/а, Ж! =
х^/а; р2 - Py/Vb, ж2 = yVb; Рз = Pz/ \/с, ж3 = Zs/c] гамильтониан задачи
Якоби примет вид
abc G о . 9 9 1
Я = ~2р~ ' F = ах1+Ьх2 + сж3 ,
^ {P2X3-PSX2)2 {p-iXl - P\X3f {р\х2-р2хх)2
(j. _---------1--------- 1-----------_
abc
Вспомним (п. 6, § 3, гл. I), что вращение твердого тела в осесимметричном
силовом поле с нулевой постоянной интеграла площадей описывается
уравнениями Гамильтона с гамильтонианом
(Р2Х3 - Р3Х2)2 (рзХ1 - Р1Ж3)2 (piх2 - p2Xi)2
+
I3
+ У"(ж1,Ж2,Жз) •
Здесь Ж), ж2, Хз - направляющие косинусы единичного вектора оси симметрии
поля. Мы опустили множитель f~2 (/ = ж^ + х\ + ж|), не влияющий на вид
уравнений движения.
Положим V = е(Гх2 + 12х2 + 1зх3). Получим задачу Вруна, уравнения
которой, по аналогии Стеклова, тождественны уравнениям интегрируемого
случая Клебша уравнений Кирхгофа. Если поло- ¦ жить теперь 1\ - а, 12 =
Ь, /3 = с, то гамильтониан Е будет равен G/2 - eF. Ясно, что {Е = 0} и {Я
= abce} - тождественные гиперповерхности в IR6 = {р,ж}. Покажем, что
возникающие на них
94
§ 6. Изоморфизмы интегрируемых гамильтоновых систем
динамические системы имеют одни и те же траектории. Действительно,
, ен abcdG . ан ahc <ав , аг д x = -at=2F~ai' p = -^=-^\aiF ~G~aiF J'(6Л)
. dE ldG . дЕ IdG 8F . .
Х~др~2др ' P~ дх ~ 2dx+Sdx' ( '
Положим H = abcs (т. e. G/F = 2e). В системе (6.1) выполним замену
времени вдоль траекторий: dr = (abc/F)dt. Тогда уравнения (6.1)
предстанут в виде
dx _ 18G dp _ 1 dG dF
dr 2 dp ' dr 2 dx ^ dx
Системы (6.2) и (6.3) тождественны, поэтому системы (6.1) и (6.2) имеют
одни и те же траектории. В частности, их интегралы совпадают. Итак,
задача Якоби является частным случаем задачи Клебша - Тиссерана - Вруна
из динамики твердого тела.
2. Рассмотрим задачу о вращении твердого тела в силовом поле с
