Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
М, составляющего с ней угол 45°; при этом тело вращается
вокруг линии центров с угловой скоростью -т-гол В тепло перешло тг| на-
14 2о
чальной кинетической энергии.
9.10 б. Удобно воспользоваться подвижной системой координат с началом в
точке А и осями х\, х^, хз, параллельными ребрам АВ = а, AD = Ъ, АА! = с
параллелепипеда. В этой системе угловая скорость Q = = On, где n = l/l, 1
= (а, b, с), а момент импульса параллелепипеда М = (IiOi, /2О2, /3^3),
где
/1 = |ш(62 + с2), /2 = |ш(а2 + с2), /3 = |ш(а2 + 62)
- его главные моменты инерции. Вектор М неподвижен относительно системы
ОХ1Х2Х3, т. е. в лабораторной системе вращается с угловой скоростью О,
так что М = ОМ|.
Пусть силы, действующие на параллелепипед в точках А и С', равны -f и f
(силы тяжести мы не учитываем). Момент этих сил К = [If], Уравнение
движения М = К приводит к равенству
П[пМ] = Z [n f ],
позволяющему определить fj_ - составляющую силы f, перпендикулярную
вектору п:
fj_ = jM± = j{M - n(Mn)} =
- 2g?V + *+*•) •(",*, с) - • ("*, Л <*).
Составляющая силы f, параллельная диагонали AC', не может быть найдена в
модели, рассматривающей параллелепипед (и шарниры) как неде-формируемое
твердое тело. Легко видеть, что прилагая к параллелепипеду в точках А и
С' силы JVn и _Yn, мы не повлияем на его движение.
Таким образом, силы, приложенные к шарнирам А и С', равны f и -f,
f = _2ш0!(аз ьз с3) + ъ ^ 3/ v . . л
9.12] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 263
где N' - неопределимая величина. (Мы ввели N' = N - ^п(а4, 64, с4)). В
лабораторной системе вектор fj_ вращается с угловой скоростью Г2.
9.11. Момент инерции эллипсоида (см. [1], § 32, задача 2е) относительно
оси вращения 1з = относительно любой перпендикулярной
г м(а2 + с2)
ей оси, проходящей через центр масс, 1\ = ----------- (м - масса
эллип-
соида).
Налетающая частица массы т <С М передает эллипсоиду импульс Р =
iPx,Py,Pz) = rnv{0, -1, 0) и момент импульса М = mv(pi, 0, -ро)-В
системе, движущейся со скоростью ^ Р-, найдем (см. [1], §33),
что эллипсоид будет вращаться вокруг полуоси с с угловой скоростью П3 =
Mz 5mvp2 Л ,
= -j- = -^-7, одновременно прецессируя вокруг направления М с
угловой скоростью _______
q _ |Mi - 5mvVPi + Р2
h М(а2 + с2)
9.12. Обозначим угловую скорость вращения диска вокруг его оси ip, угол
между этой осью и направлением на север ip. Угловая скорость диска в
инерциальной системе и) = Q + ф + ip, ее проекции: на ось диска и>з = =
ip + И cos a cos р, на вертикаль ui\ = ф + Q, sin а, на горизонтальную
ось, перпендикулярную оси диска, и>о = И cos a sin р. Функция Лагранжа
равна кинетической энергии (учтем, что 1\ = 1Д\
L = + О- sin а)2 + cos2 а sin2 Ч> + ^з (ф + Q cos о:
cos ip)2.
Исследовать движение удобно, используя интегралы движения рф и
Е = Рф1р+р<рф - L:
Рф = I3 (ip + И cos a cos tp),
Е = ]^Ii{p2 - И2 sin2 a) - ^T^2 cos2 a sin2 Y+
1 t 2 r>2__"2 " """2 ,
Исключив ip, находим
E = 7,hp2 + Um(p) + const,
где ^
Кфф(^) = -Рф^ coso. cos p + jr/ifl2 cos2 a cos2 p.
264 Ответы и решения [9.13
Ограничимся случаем -ф О.. Тогда рф " 13ф,
КффМ ~ -Рф?1 COS a cos р.
Функция [7Эфф((^) имеет минимум при tp = 0 (т. е. в направлении на
север). Ось гирокомпаса колеблется около этого направления. Для малых
колебаний
иэфф((р) = cos а • ip2 + const
и частота колебаний оси равна cosa. Например, для гироскопа,
делающего около 10 тысяч оборотов в минуту, период колебаний прибли-
/,
зительно полминуты (для - cos о: ~ 1).
h
Каким образом можно учесть момент инерции рамки?
9.13. Удобно использовать подвижную систему координат с осью х,
проходящей через точку касания диска с поверхностью стола.
В этой системе
d'M
dt
+ [ф, М] = К, (1)
где М - момент импульса волчка относительно неподвижной точки О, К момент
действующих на него сил (ср. [1], § 36). Проекция (1) на ось х
Мх - фМу = кх.
Очевидно, Му = 0, Кх = 0, так что Мх = const.
Пусть Д = ?2 Ф 1з - главные моменты инерции волчка относительно точки О.
В начальный момент
М = П7з, Мх = fll^cose.
Когда проскальзывание прекратится, ось х станет мгновенной осью вращения,
т. е. угловая скорость волчка и) будет направлена вдоль оси х, а Мх = =
I3UJ cos2 в + hu sin2 в. Таким образом,
П7з cos в
со =
I3 cos2 в + I\ sin в
Отметим, что после прекращения проскальзывания ф = -со tg в.
9.15] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 265
9.14. Пусть а = b ф с - полуоси эллипсоида, R, 0, Ф - сферические
координаты центра инерции эллипсоида, в, ip, ф - эйлеровы углы, причем
ось х3 движущейся системы направлена вдоль полуоси с. Кинетическая
энергия тела (см. [1], § 35)
Т = Щ{Е2 + Д202 + R2Ф2 sin2 0) +
Ь ¦ I ¦ W
+ - (ф2 sin2 в + в2) + {ф cos в + ф)2,
где I\ = I2 = {а2 + с2) и/3= Щ^а2 - моменты инерции эллипсоида
относительно осей х\, х2, х3.
Предложенная потенциальная энергия взаимодействия эллипсоида с
кулоновским центром может быть преобразована к виду
тт _ 7mM 'yMD 3cos2 а-1
R ~ 4 дз >
где D = 2(Ii - 73), а а - угол между радиусом-вектором R и осью х3.
