Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 61

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 86 >> Следующая

нормальное колебание типа "гармошки", при котором соседние частицы
колеблются в противофазе: <рп = - <pn-i. Естественно поэтому и новое
положение равновесия српо искать в виде "гармошки":
Рассмотрим теперь малые колебания вблизи нового положения равновесия (4).
Введем малые смещения
тогда с точностью до :/ф включительно потенциальная энергия (1) равна
Сравнивая (1) и (6), легко увидеть, что хп имеет решение такого же вида,
как и срп (2) с частотами
тЯа
4а - 1 > 0, или b - а > t,
4 kl
(3)
V^lO = - <?>20 = <?>30 = - <?>40 = • • • = - <?>2ЛГ0 = <?>•
(4)
ipn a{2ipn Pn-\-1 Pn-i) 0Pn H-^PiPn Pn-\-1) ^r^PiPn Pn-i) -0?
(5)
что дает
Xn - Pn РпОч
n
2 9 \i 1 2 л/ о/i о 2\ ¦ 2 P's
L0S = J 1 - 2^ ~4a~ 24A? ) Sin - .
242
Ответы и решения
[7.9
Однако теперь для малых ip2 < < 1 все ш2 положительны (см. (3)):
> f I1 " \ ~ 4(" _ 24/3^2)] = _ > °>
т. е. малые колебания вблизи нового положения равновесия (4) устойчивы.
Таким образом, с ростом параметра а первоначальная конфигурация
вертикальных маятников сменяется "гармошкой". Такое изменение симметрии
подобно изменению симметрии термодинамических систем при фазовых
переходах второго рода. Аналогом а при этом является внешний параметр
типа температуры, магнитного поля и т. д. (см., например, [23]).
Конечно, уравнение (5) может иметь и другие ненулевые решения, кроме
найденного (4). Например, ему удовлетворяет значение срп = -\/Ъ, которое,
однако, не является физическим, так как отвечает большим углам
отклонения, а само разложение (1) справедливо лишь при малых ip.
7.9. а) Ток в n-й катушке обозначим qn. Функция Лагранжа
N
L = \ - Qn+i)2} + l^oqjf+i +Uq1 cosyt
71=1
(ток через цепочку Z обозначен флг+i). Сопротивление R можно ввести в
уравнения движения с помощью диссипативной функции
F = 2^7лг+1-
Уравнения движения
^Я.1 + - "2) = U cosjt, (1)
+ jj(2qn - qn-i - (ln+i) = 0, п = 2, 3, ..., TV, (2)
¦%-oQn+i + ^(qn+i - Qn) = Rqn+ i- (3)
Решение ищем в виде
qn = R е(Ае^~тП,
причем можем считать, не ограничивая общности, что - тт С у -7 тт. Из
(2),
(3) получаем
72 = ^sm2(^/2), (4)
-72^о + ^(1 -e~i*)=i1R. (5)
7.9]
§ 7. Колебания линейных цепочек
243
Отсюда
Поскольку R > О, должно быть р > 0 - волна бежит в сторону ,'? It -
цепочки. Амплитуда может быть определена из уравнения (1).
При у2 > ??С/4 распространение бегущих волн по искусственной линии
невозможно (ср. с задачей 7.5 а), б) Уравнения движения
с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) в задаче 7.4.
Кроме того,
Пусть, например, 71 <72. Условия 0 ^ cos2 р ^ 1 выполняются при О < 7 <
71 (область "акустических" волн, ср. с задачей 7.4) и при 72 < 7 < V/i+tI
(область "оптических" волн). Вне этой области распространение бегущих
волн невозможно (ср. с задачей 7.6).
^1Ч2п-1 + -^(2Ц2п-1 - Я2п-2 - (12п) =0, П = 2, 3, . . . , N,
^242п + ^(2q2n - Я2п-1 - (l2n+l) = 0, П = 1, 2, . . . , N, (6)
(7)
(8)
Решение ищем в виде
(9)
Не ограничивая общности, считаем -д -7 у -7 тг. Из (6)
(1 - 72/72)А - cos р ¦ В = 0, cost/? • А - (1 - 72/7|)?> = 0,
(10)
откуда
cos2 р = (1 - 72/7i)(1 - 72/yf)-
244 Ответы и решения
Из формулы (8)
[7.10
и I • и> * г В iin г Л В \ , В smip . .
R + ^ ^ (1 - -J cos-,] + (11)
ТЭ
Здесь должно быть - sin<р > 0. В области у ^ 71 амплитуды Аж В имеют
одинаковые знаки, так что <р > 0. В области 72 ^ 7 ^ V7i+72, наоборот,
В/А < 0 и (р < 0. Подставив в (11) значения В/А, cosp и sin 77, получаем
окончательно
/jfr+jga/ 72 \ 2 - JAjCj2 _ ^
У 2С I ^1+^2 2 / 2 - ЬВ^С^2 ' ° 2'
Отрицательное значение у в области "оптических" колебаний означает, что
фазовая скорость бегущей по линии волны направлена от Z-цепочки к
источнику напряжения. Групповая же скорость, определяющая поток энергии
(ср. с задачей 7.3), естественно, имеет противоположное направление
djUjp|у
(см., например, рис. 137, где г;(tm) ~ ;- < 0).
as
7.10. Уравнения колебаний дискретной системы (см. формулу (3) задачи 7.1)
преобразуем к виду
у hga(Xn+1~Xn хп~Хп-1\ 1 .S
хп кат у а а ) а ~и'
Величина Щ в пределе имеет смысл линейной плотности стержня р.
Хп Хп-1
Относительное удлинение отрезка а, т. е. величина --------, пропорцио-
~ ~ 7-1 1 Хп Хп-1 7
нально действующей на него силе г - ка ----------, поэтому в пределе ка
имеет смысл модуля упругости стержня н. Таким образом, уравнение (1) в
пределе переходит в волновое уравнение
d2x(?,t) 2d2x(^t)
dt2 v эе
= 0, (2)
где v = \/я/р имеет смысл фазовой скорости волны.
8.1] §8. Нелинейные колебания 245
Вместо системы N обыкновенных дифференциальных уравнений мы получили одно
уравнение в частных производных (ср. с задачей 4.29).
Отметим, что для данного вывода необходимо важное предположение о том,
что функция xn{t) стремится к определенному пределу х(?, t), являющемуся
достаточно гладкой функцией.
7.11. При малых а можно приближенно представить смещения в
виде хп = х(?, t), хп±1 = ж(? ±a,t)= х(?, t) ± + а д *) ±
"з д3х(? t) ^ д^
± - 1-. • .При этом уравнение (2) задачи 7.10 переходит в
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed