Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Из (1) находим связь
Ак ¦ 2 Ф 2 - sin 2 = w •
Из уравнении (1) и (2), с учетом (3) и (4), получаем систему
Asm Nip - В = 0.
-Asin(N - 1 )<р + sin2 ^ + 2^В = 0.
(3)
(4)
7.7]
§ 7. Колебания линейных цепочек
237
Отсюда В = AsinNcp, а параметр ср определяется как решение
трансцендентного уравнения
sin
sin2 ^ - 2 + cosy) = cosNcpsmcp. (5)
При шдг m, кроме очевидных нормальных колебаний, когда частица т .у почти
неподвижна {sm. Nips 1),
= As sinri(^s cos(a;st + as), n = 1, 2, N,
tg7Y^"2^Ctg?' " = 1. 2, ЛГ-1,
имеется нормальное колебание, при котором амплитуды частиц линейно
убывают к левому концу цепочки,
х{"] = Bj±co${ujNt + a N), u?N = ^{l + j^j.
Частица т .у при этом колеблется между пружинками жесткости к (справа) и
жесткости к/N (слева). Тот факт, что уравнение (5) имеет подобное
решение, устанавливается следующим рассуждением. Предполагая ср малым и
сохраняя лишь главные члены, получим из (5) ср = -- 1 + - в полном
UIN у Jy J
согласии со сделанным предположением.
При mjv <С т имеются обычные колебания, характерные для системы из (N -
1)-й частицы с пружинкой жесткостью к/2 на правом конце (па-
i ЛГ sill
раметр ср3 и частоты cos определяются из уравнения tg JScp = - ^-COSy,)~
Кроме них, существует нормальное колебание, при котором амплитуды частиц
убывают к левому концу цепочки
x<hN) = (-1 )N+nB cos{ujNt + aN),
h2 Ф = m , 2 = 2k_
2 2mjv ' N mN'
Формально значение параметра ip можно получить из уравнения (5), сделав
замену ср = -к - itp и предполагая ip большим. Это нормальное колебание
можно рассматривать в первом приближении как простое колебание частицы
малой массы при покоящихся остальных частицах, а затем рассмотреть
238 Ответы и решения [7.8
движение остальных частиц как вынужденные колебания под действием
высокочастотной силы кхдг = кВ cos(сэдг? + адг), приложенной к правому
концу цепочки из N - 1 одинаковых частиц (см. задачу 7.5 а).
б) При кTvyi <С к решение совпадает с решением задачи 7.2. При fcjv+i
77' к имеются нормальные колебания, при которых N-я частица почти
неподвижна:
М Л ( 4- ^ 2 4fc • 2 fs
хуп> = Assinmpscos(tust + as)7 los = - sin -,
Vs ~ W' S = 1' 2' ''' ' N ~ !'
Параметр ips определяется из уравнения
^2 sin2 ^ s*n = C0S s*n ^
которое в рассматриваемом приближении имеет вид
tg Nip = --r-^- sin ip. kN+i
Уравнение (6) допускает еще одно решение, которое можно получить, положив
р = 7г - iip и предполагая ip большим. В этом случае имеем
х^ = (-1 )n+1Bn cos(uNt + aN),
"и 2 Ф _ &N+1 _ 2 _ &N+1
~2 ~ 4 к ' ~ m '
т. e. амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки.
Каким образом можно получить это последнее колебание, используя
результаты задачи 7.5?
7.8. Пусть ipn - угол отклонения гг-го маятника от вертикали,
a) s-e нормальное колебание
ipn = Аа cos (п - т^фз ¦ cos(wst + as), где спектр частот (рис. 141)
начинается со значения luq = \Jg/l:
§ 7. Колебания линейных цепочек
239
б) В области собственных частот системы loq < 7 < y/wg + 4k/m вынужденные
колебания
<Рп
F cos[(n - ^)Ф\
Ф
2kl sin JV'i/jsin
sinyi;
2 9 , 4k ¦ 2 Ф n , , ,
^ = J + m sm 2' ^ 7F'
При 7 tos возникают резонансы, так как
sin Nip -> sm Nips -> 0.
В области малых частот 7 < wg все маятники колеблются в одной фазе
Рис. 141
FcYi{n - -)х
9 4к ,2 X
2kl sin JVy sh -
x sinyt; 7 = у - - sh 2 > °'
Если при этом жесткость пружин мала
к
= ? < 1,
т (wo - 72)
то амплитуды колебаний быстро убывают к левому концу
<fn - <?n?
N-n
В области высоких частот 7 > y/wg + 4к/т соседние маятники колеблются в
противофазе
(-1)^ nFsh(n-
2kl sh JVy ch A
2;/v . , 2 9 , 4fc , 2 X
X sm^ T' =7+mch 2-
При очень высокой частоте nr.2/к 1 амплитуды колебаний также быстро
убывают к левому концу
240
Ответы и решения
[7.8
в) Ясно, что при Ъ - а = 0 все маятники (в линейном приближении)
колеблются независимо друг от друга с частотой luq = у/д/1-
С ростом параметра Ъ - а пружинки сначала ослабляют возвращающую в
положение равновесия силу тяжести, а затем начинают "расталкивать"
соседние маятники, так что малые колебания маятников вблизи вертикали
становятся неустойчивыми.
Функция Лагранжа системы
2N
2N
п= 1
п=1
кг2
L =-ml2^2p2n-U7 С/ = Уд-mgl cos рп +
где удлинение n-Й пружинки (принимаем I \ Ап | <С а)
Гт • 2^11 , , I2 л 2 ^2(а2+ з/2) д4
г" = у а sm ------^3-Дп-
^¦п = фп ^п+1-
С точностью до членов включительно
U = ^mgl (^2 - аД2 - + /ЗД^ + const,
П
(6 - a)fcZ
а =
атд
а _ 1 | &6Z3
@ ~ Тоа ~л У• Amga
(i)
Рис. 142
Уравнения движения в линейном по рп приближении
"Ь ~j/Pn ~ ^i^-Pri ~ Рп+1 ~ Pn-l)\ = 0 имеют решения в виде бегущих волн
рп = Ае1(ш1±п^ (2)
с частотами (см. рис. 142)
2 д л ^ • 2 Фв
ш8 = 4а sm -
= W ' s = 1'''' ' N'
7.8]
§ 7. Колебания линейных цепочек
241
причем частоты ujq и о/дг невырождены, а остальные частоты двукратно
вырождены.
Отсюда видно, что при
колебания неустойчивы - некоторые lu2s становятся отрицательными. Раньше
всех обращается в нуль частота о/дг. Ей соответствует фм = тг, т. е.
