Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
1 , 9 9 , -9 Т7| (А7^ - Л73cos#)2
Е = - (7i + та cos #)# + -г- Н---------------------------------------Ь mg
a sin #. (3)
2 2h 211 sin #
Отсюда через квадратуры определяется зависимость #(?), а затем с помощью
(2) зависимость <p(t), фф).
Угол наклона диска совершает колебания, и в такт с ними изменяются
скорости прецессии ф и вращения вокруг оси ф. Уравнения (2), (3) подобны
уравнениям движения тяжелого симметрического волчка (см., например,
уравнения (4)-(7) из [1], § 35, задача 1).
Качение диска устойчиво при Og > тда1\/7|, верчение - при E?z > mga/Ii.
б) В отсутствие проскальзывания на диск, кроме сил тяжести mg и
реакции опоры R, действует еще сила трения f.
Уравнение
М - [aR] = [af]
удобно записать в проекциях на оси Z, х3 и ? (ось ( - линия узлов)1:
MZ = fvacos9, M3 = fea, (4)
d dL dL ? ' c\
JtYi ~ ~SS = к'"шв- <5)
lB отсутствие силы трения эти уравнения представляют собой уравнения
Лагранжа для углов Эйлера.
270 Ответы и решения [9.19
Здесь а - вектор, проведенный из центра диска в точку его соприкосновения
с плоскостью.
Запишем уравнение
mV - f + R + mg
в проекциях на оси ? и г), где ось г) горизонтальна и перпендикулярна оси
? (см. формулу (4) предыдущей задачи):
Д = m(V)c = то(Йс + ipVv),
(6)
fv = m(V)4 = m(V^ - pVe).
Условие качения без проскальзывания V + [Па] = 0 приводит к равенствам
Vj = - а(ф + ф cos#), Vv = a6. (7)
Подставляя (1), (6), (7) в (4), (5), получим систему уравнений
относительно углов Эйлера. Движение без проскальзывания и без отрыва
диска от плоскости возможно, если
1/1 < Цт(д + Ё), д + Z ф 0
(ц - коэффициент трения).
Полагая 6 = 0, получаем ф = ф = 0, причем 6, ф иф связаны соотношением
1'3ф(ф cos в + ф) sin$ - 1\ф2 sin 6 cos в + тда cos в = 0 (8)
(здесь и далее 1[ 3 = 1уз + та2). Центр диска, двигаясь с постоянной по
величине скоростью V = а|Пз| = а\ф + фсоё6\, описывает окружность радиуса
R = У/\ф\. Условия (8) можно представить также в виде
I^RV2 = \I1aV2 cos# + тда2R2 ctg#|.
В частности, если масса диска сосредоточена в его центре (1\ = 1$ = 0),
то получаем элементарное соотношение: V2 = gR ctg#|.
Гироскопические эффекты, возникающие при отличных от нуля /1,3, могут
оказаться весьма значительными. Например, для однородного диска (2Ii = /3
= /та2) в случае Д> а получаем |у2 = gR\ ctg0|; для обруча (2Ii = /3 =
та2) в том же случае 2V2 = gR\ ctg#|.
9.19] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета 271
При качении диска в вертикальном положении
Для исследования устойчивости такого движения положим в уравнениях (1),
то при отклонении угла в от 7г/2 возникают малые колебания /3 и ф:
Направление движения диска также испытывает малые колебания, причем диск
движется не вблизи прямой, а вблизи окружности радиуса
аПз/fo;2/mgaMz-
Таким образом, наличие малого отклонения начальных условии от (9) может
привести либо к малым колебаниям вблизи "равновесного" движения по прямой
(если Mz = 0, До Ф 0) либо к новому "равновесному" движению
0=7^, ф = 0, Ф = Д-з = const.
(9)
0 = - /3, /3 <С 1, ф ~ /3 ~ /ЗПз <С П3,
^3~/3~Пз" ф&з
и сохраним только члены первого порядка малости. Получаем
Mz = 1\ф + З3П3/З = const, 0,3 = const, I[(3 + 1'зО.зф - mga/3 = 0,
(10)
откуда
Если
(П)
(если Mz ф 0, /30 = 0).
Если неравенство (11) не выполнено, то движение неустойчиво.
272 Ответы и решения [9.19
Можно сказать, что движение происходит с в = const, если в "пространстве"
в, ф, ф точка лежит на поверхности, определяемой уравнением (8). Нетрудно
убедиться, что при условии (11) движение устойчиво относительно
возмущений, выводящих точку (в, ф, ф) с поверхности (8) и безразлично
относительно ее перемещений по этой поверхности. Аналогично обстоит дело
и с устойчивостью движения диска на гладкой плоскости (нужно только
заменить 1[ 3 и Iуз).
Верчение диска вокруг вертикального диаметра устойчиво, если
> тда/1[.
в) Отсутствие вращения вокруг вертикальной оси (верчения) приводит к
условию
Q.Z = ф + ф cos 0 = 0. (12)
На диск в этом случае действует добавочный "момент трения верчения" N,
направленный вертикально, и вместо (4) получаем
Mz = f^a cos в + N7 М3 = f^a + N cosd. (13)
Интегрирование уравнений движения относительно легко сводится к
квадратурам (в отличие от уравнений пункта б)).
Движение с постоянным углом наклона возможно, если, кроме условия (8),
выполняется и условие (12), т. е. ф и ф определяются углом в. В этом
случае
" . . " mqa3 sind
R = a sin0ts0 , И2 =
I'3 - h ctg2
Качение диска в вертикальном положении устойчиво при Од > тда/ 1ф
г) При наличии малого наклона плоскости к функции Лагранжа следует
добавить член 5L = -тдаХ (ось X направлена вверх вдоль плоскости, ось Y
горизонтальна, ось Z перпендикулярна плоскости). Полагая в (1),
(4)-(7)
в = ^ - (3, /3 " 1, ,г/'~/3<С Ф ~ /3 ~ tlz "С ipClz
и добавляя вклад SL, получаем
I[l3 + (Ji - /з)П|Д - 1'3?1гф - тда/3 = тдаа sin Clzt,
1'зф + (7з + 2ma2)?lzl3 = - тдаа cos flzt,
9.20] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
