Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 72

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 86 >> Следующая

Гамильтона приближенно описывает движение заряженного вихревого кольца в
жидком гелии при наличии однородного электрического поля вдоль оси х
[32]. Характерная особенность такого движения - импульс вихря растет со
временем, а скорость его движения падает х = А/ (2у/ро + Ft).
|П. • ср . ср дп I
10.5. г= -, Р=-г^+ Р=|Р|-
Предложенная функция Гамильтона описывает распространение света в
прозрачной среде с показателем преломления п в приближении геометрической
оптики (см. [3], § 65). "Частицей" является волновой пакет, г(t) есть
284
Ответы и решения
[10.6
закон именно его движения; г - это групповая скорость, а вектор р,
перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.
Траектория при п(г) = ах
x = C1ch^+C2)j,
'1
где С\, С12 определяются начальной и конечной точками траектории.
10.6. a)L = m(v~a)2; б) L = 0;
подобные "частицы" нельзя описывать с помощью функции Лагранжа (см. [2],
§53).
10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле Ж,
направленное параллельно оси z.
Функция Гамильтона
тт( , pl+Pl 1 ( \2
H(x,y,z,px,pv,pz) = 2m + --[ру-ъЖх) .
Так как Н не зависит от у и z, имеем ру = const, pz = const. Представив Н
в виде Я = g- + Р^(х - х0)2 + ||, где и = х0 = Ц|, видим, что для х, рх
получается такая же функция Г амильтона, как для гармонического
осциллятора. Поэтому
х = a cos (uit + р) + х о, Рх = -тша sin(wt + tp).
Для определения у я z используем уравнения
У= = ^(ру-рЖх) =-ivac°s(ivt + p), Z = ^,
откуда
Pz
у =-asm(uit +tp)+у0, z = j^t + z0.
Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной Ж. Обобщенный
импульс ру определяет расстояние этой оси от плоскости yz.
10.8]
§10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
285
10.8. Магнитное поле направлено по оси z и равно 2hx. Движение по оси z
равномерное. Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоскости ху.
Функция Гамильтона
рр _ Рх _______________1_
2т 2т
eh 2 Pv ~ -Гх
не зависит от у и t. Поэтому интегралами движения являются обобщенный
импульс ру и энергия Е:
¦ . eh 2 Ру = ту + -х ,
E = mf + um(x), um(x) = ^-(py-fx2)2.
Для ру + 0 график [/эфф(х) изображен на рис. 153, а примерный вид
траектории -на рис. 154. Следует учес ть, что скорость
У =
\Ру
eh 2
т тсх
всюду отрицательна и колеблется вблизи значения ру/т.
Рис. 153
Рис. 154 Для ру > 0 график
Рис. 155
e2h2 /ji ji\2 2 тс2
изображен на рис. 155. Скорость
^фф(х) = f^(x2 - X20)2, хо = \Г~п: 2тсг
РуС
eh
eh г 2 2\
У тс (хо )
286
Ответы и решения
[10.8
при любом значении Е принимает как положительные, так и отрицательные
значения. Примерный вид траекторий изображен на рис. 156, случаям а-д
соответствуют уменьшающиеся значения энергии.
г) Е= Um
д) Е " Um
Рис. 156
При больших энергиях Е Um = Ру/2т размах колебаний по оси х велик и
среднее за период значение (х2) больше Xq. Поэтому среднее значение ,
(У) = ш(*20
отрицательно (см. рис. 156, а). При уменьшении энергии (у) возрастает до
нуля (рис. 156,6), а затем становится положительным (рис. 156, в). При
энергии Е = Um частица, имеющая в начальный момент х > х$ и х < 0,
асимптотически приближается к оси у (рис. 156,г).
Наконец, при Е < Um частица движется либо в области вблизи (-хо), либо в
области вблизи ид (рис. 156,6).
Можно показать, что (у) при этом больше нуля. При \х - ад <С х$ частица
движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдоль
10.9] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 287
оси у. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении (х2)
учитывать первые ангармонические поправки
а2
х = xq + a cos tot - -- (3 - cos 2tot),
4Xo
что дает
cE
^ 2hxle
(ср. с задачей 8.14).
10.9. Введя координаты центра масс R и относительного движения г (ср. с
задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в виде
L=fie+fcmn+L^r) + fc^
М = 7711 + ГП2,
где
L1(r,r) = ^r2 + f[^'r]r+^ (ж'=^-^Ж
у ' 2 2сL J г \ т2рт1
(т - приведенная масса).
Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде
?[*R|f=?[*r]R+!?[.*Rlf.
Отбрасывая полную производную по времени, имеем
1. "п1 ¦ 'гЖу\\ ¦ l.y.v. г).
Эта функция Лагранжа не зависит явно от R, поэтому сохраняется обобщенный
импульс
Р = Ш = + % Жг = const • (2)
<7xv с
Функция Г амильтона системы имеет вид
288
Ответы и решения
[10.10
Отсюда с учетом (2) видно, что частица массы т движется в однородном
магнитном поле Ж' и в силовом поле с потенциальной энергией
После нахождения г(t) закон движения центра масс определяется из
уравнения (2)
10.12. а) е(р) = Е, рж = const, где р^ - проекция импульса на
направление магнитного поля Ж. Траектория в импульсном пространстве
определяется линией пересечения двух поверхностей: е(р) = Е и р^ = =
const.
б) Из уравнения движения р = | [гЖ) видно, что проекция траектории
электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю Ж, получается
из траектории в импульсном пространстве поворотом на угол 7г/2
вокруг Ж и изменением масштаба в -Е- раз.
еЖ
Если направить ось z по Ж, то
U
+ т>тсо2[(х - а)2 + (у - Ъ)2] + const,
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed