Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
смещениях из положения равновесия:
U(x, у, z) = U(xо, 0, 0) + ]Щ- Д Д к^Х ^ ,
где
ki = 2к - т'у2,
/ + к(х0 - а) / - к(х0 - а) 2 2
fc2 = -Г]------------+ -:---------------¦-------------Ш7 = -ТО7 + к3.
I Д Xq - CL I - Xq Д (1
Сравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие
неустойчиво лишь в том случае, если к\ и fc2 имеют разные знаки. В
частности, при ту2 2кД2,{/I равновесие устойчиво, в отличие от
результатов пункта а).
Если же к\к3 < 0, то отклонение частицы от точки (xq, 0, 0) нарастает со
временем (пока не станет существенным воздействие стенок рамки, которое
мы не рассматриваем).
280
Ответы и решения
[9.27
9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся системе
отсчета. Начало координат поместим в центр масс, система вращается с
угловой скоростью и вокруг оси z, а звезды расположены на оси х (рис.
152).
Пусть расстояния от звезд до центра масс
Ш2 10
"12 = Т ;----------, где mi 2 - массы звезд, а -
т 1 +1712
расстояние между ними. Из равенства
mim 2 2 7т1т2
-асо = ------ -
т 1 + т2
nil + 1Т12
а6
гию)
Потенциальная энергия тела массы т (включая центробежную энер-
U(x, у, z) = -
ymmi ymm2 muj
r 1
г 2
. IIW ( 2 . 2\
где ri,2 - расстояние до звезд, г = (х, у, z) - радиус-вектор тела.
Положе-
ди
ние равновесия тела определяется условием -- = 0, или
а г
dU (mi m2 mi + m2 \ /mi"i m2a2\ n
& = + Tf - ~^^)x+ -)=°-
dU (mi m2 mi+m2\
%='''Чтг + 7Г ^> = °-
dU (mi m2\ n
Ж = Т'П(Т + 7Г|2 =
Отсюда z = 0 и (при у ^ [)) п = г2 = а.
Таким образом, звезды и точка равновесия находятся в вершинах правильного
треугольника. Есть две такие точки, так называемые точки Jla-
"л/З
гранжа, х0 - cii = а2 - хо = уо = *о = 0.
9.28] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета 281
Вблизи точек Лагранжа
U{Х0 + XI, Уо + Уъ Z0 + Zi) =
= U{x0, Уо, Zo) - |mw2Xi - 2maxiyi - |тш2у1 + |ma;2z2,
Движение в направлении z, очевидно, устойчиво. Уравнения движения
Его корни действительны при 64а2 ^ 23а;4, т. е. при
(mi + m2)2 5^ 27mim2 .
Это условие выполняется, если масса одной звезды больше другой не менее
чем в 25 раз. В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжа
устойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср. с
задачей 9.25).
QJJ
На оси х есть еще три точки, в которых -- = 0, однако движение
r OY
вблизи них неустойчиво.
Для системы Солнце-Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются астероиды.
9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающейся вместе
с молекулой. Функция Лагранжа получается из (1) задачи 6.49 заменой un на
un + [Г2, r0o + un], а угловая скорость вращения системы отсчета
выбирается равной угловой скорости вращения молекулы в отсутствие
колебаний Г2т X) ra0 = М- Условие (3) задачи 6.49, эквивалентное
требованию yi + У2 + Уз = 0, отсутствует. Введя 54 = -^=(yi + У2 + Уз) и
V3
пренебрегая квадратичными по Г2 членами1, можем представить функцию
'Учет этих поправок привел бы к заменам:
В ПЛОСКОСТИ X, у
3 2
х\ - xi - 2ау\ - 2шу\ = О,
9 2
у 1 - -?jJ у\ - 2ах\ + 2lux\ = 0. Подстановка х = АегП1, у = ВегШ
приводит к уравнению для П:
П4 - со2П2 + ^си4 - 4а2 = 0. 16
mQ2
2 к
282 Ответы и решения [10.1
Лагранжа в виде
i = f М? + 2<Й + 2й + Й) - f (5? + Й + Й)+
о
+ mO(gig4 - q4qi) + - 9з92)-
Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям
) = -4i cos(wit + (р4), = 2^-Ах sin(uy + <р4),
?} = о, -1 = У§,
(2-± = Л2,3 cos(w2i3t + ?>2,3), 9з2'3) = ±^2,3 sin(w2i3i +
р2,з)
(2,3) п /3/с
91,4 =0, С2,з = J^,
дЮ = Щс, 441= О, 914)=С± + ?.
wf
Вместо условия (3) задачи 6.49 получаем
^{[га0йа] + 2f2(r0ou0)} = 0,
О
или q4 - 2Qqi = 0, что соответствует выбору С = 0. Постоянную D,
определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся системы
отсчета, также удобно положить равной нулю.
Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклонения в
начальный момент имеют вид, изображенный на рис. 133, а начальные
скорости равны нулю?
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
10.1. Пусть е - вектор бесконечно малого смещения; при этом
га -> г'а = Га + ?, Ра ^ Ра = Ра.
Н{Га, Ра) =Н(г'а, р'а).
Отсюда У = 0. Используя уравнение Гамильтона, получаем:
а ОГа
10.5] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 283
При бесконечно малом повороте 6ip
Га -> = Га + [<*?>Га], Ра ^ = Ра + [^Ра],
Я"(Га, Ра) = Н{г'а, Р") + Jj^ [<^Ра] } = 0 =
= X^-Pa[Mv] +Г[5у.ра]} = SlfiY^ 4[гаРа],
С'Ра
dt1
или
М = ^[гара] = const.
О
1П1 и Ре (Pv-РФ COS0)2
'0.2. Я=- + 2/iS|n,e +Wl-
V2 22
10.3. Н = ---- + ш ^ +ах3. В частности, для малых колебаний
2(1 + 2 (Зх) 2
(\ах\ <С ш2, |/За; <С 1)
/г"2 о о
ТТ Р , игаг , 3 /О 2 , оо2 2 2
л = - Н ^-/аж - рхр + 2/3 х р - ...,
и с точностью до линейных по а, /3 членов добавка к функции Гамильтона
гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжа
соотношением 5Н = - SL (ср. [1], §40).
10.4 а. х = a cos(wt + (p),p = -LOoa sin(a+ + +), где lo = (1 +
2XEq)loo, I,.,2"2 2
10.4 6. p = po + Ft, x = Xq + j^Wpo + Ft - ^/po). Данная функция
