Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
параметрического резонанса,
254
Ответы и решения
[8.10
8.10. Уравнения движения
х + ш2х - 2 аху = 0, у + 4и>2у - ах2 = 0.
Решение ищем в виде
х = Аегш1 +А*е-гш1 + 5х,
У = Be2lLOt + B*e-2lLOt +5у,
принимая, что А и В - медленно меняющиеся амплитуды колебаний, а более
быстро осциллирующими слагаемыми 5х и 5у можно пренебречь: |А| <С oj\A\
<С w2|2L|, \В\ <С oj\B\ <С w2|?>|, 5х ^ 5у <С |А|.
Сохраняя только слагаемые с < '~1 (соответственно < ~г~') и
пренебрегая
|А|, \В\, получаем
loA - гаВА* = 0,
(1)
4loB - iaA2 = 0.
Легко видеть, что из (1) следует
А|2 + 4|Б|2 = С = const (2)
(это закон сохранения энергии) и
А*2В + А2В* = D = const. (3)
8.12]
§ 8. Нелинейные колебания
255
Используя (1), находим
w-f|A|2 = га(А*2В - А2 В* dt1 1 v
Возведем (4) в квадрат и учтем (2), (3):
2 2
(4-\А\= -^к[(А*2В + А2В*)2 -4|И|4|В|2]
\dt J и
(4)
(5)
^[\А\4(С-\А\"
D2
иГ
Уравнение (5), аналогичное закону сохранения энергии для задачи об
одномерном движении частицы с координатой \А\2, удобно исследовать с
помощью графика U(\A\2) = {\А\2 - С)|И|4 (рис. 149).
Таким образом, амплитуда |И| испытывает колебания - происходят биения.
Зависимость амплитуд |И| и \В\ от времени может быть выражена через
эллиптические функции (мы не будем этого делать).
Отметим, что, в отличие от колебаний осцилляторов с линейной связью
(задача 6.8), в данном случае от начальных амплитуд и фаз зависит не
только глубина биений, но и период.
Эта задача имеет отношение, например, к связи продольных и изгиб-ных
колебаний молекулы СО2 (так называемый резонанс Ферми, см. [21]) и к
удвоению и делению частоты света в нелинейной оптике (см. [22]).
8.11.
to2 = ± у (ср. [1], §30 задача 1).
2 Г I
8.12.
а) С/эфф = ^[4 тсо L г
3(аг)
б) ?7эфф
г(со2 - loq)
г
<1
г6
3(аг)
где wo ^ собственная частота осциллятора.
Обратим внимание на то, что зависимость 17эфф ос г~6 характерна для
межмолекулярных сил. Если подставить в (1) значения величин1:
256
Ответы и решения
[8.13
а ~ е2 ~ (5 • Ю-10 ед. СГСЭ)2, ш ~ 10-27 г, а ~ 10-8 см, о; ~ 1016 сек-1
типичные для атомов, то получим иэфф ~ 10-59 эрг- см6/г6, что по поряд-ку
величины близко к правильному значению для ван-дер-ваальсова
взаимодействия. Такой результат может служить указанием на физическую
природу этого взаимодействия. Полный же расчет ван-дер-ваальсовых сил
возможен лишь в квантовой механике.
8.13. Движение вдоль оси z почти равномерное, z = vt. В плоскости (.х, у)
на частицу действует быстро осциллирующая сила /ж = 2Ах sin kvt, fy = 2Ay
sin kvt. Соответствующий эффективный потенциал U3фф =
Согласно условию частота колебаний силы kv П, так что сила действительно
быстро осциллирующая. Итак, в плоскости [х, у) частица совершает
гармонические колебания с частотой П около оси г. Эта задача иллюстрирует
принцип жесткой фокусировки пучков частиц в ускорителях.
8.14. Уравнения движения
где слагаемые ?, // описывают быстрое движение по почти круговой орбите,
а X, Y - медленное смещение ее центра (сравните с [1], §30). Подставляя
(1) в уравнения движения, разлагаем Ж{Х - () по степеням ?:
и разделяем быстро осциллирующие и медленно меняющиеся слагаемые. Для
осциллирующих слагаемых
тх = рЖ(х)у, ту = -| Ж(х)х.
Ищем закон движения в виде
х = X +
у = Y + 77,
(1)
X+'(-ujY + шу+ + 17),
Y+y = -^x-^-i-c^§ax+o
= ij = -Loi, си=^ёЖ(Х),
откуда
? = rcoscjt, j] = - r sin cut.
8.15] §8. Нелинейные колебания 257
Для медленно меняющихся членов имеем
е дЖ_!С-\ ~ тс дх
где
О v е дЖ
(?Г]} = -Г2 LO (COS2 LOt) = Ш = О-
(2)
Поскольку X, Y ~ sloX, eojY, то левые части (2) можно положить равными
нулю.
Итак,
Y _ елА_дЖ_ _ 1 X = о 2 тс дх 2 '
(Скорость смещения центра орбиты (скорость дрейфа) в более общем случае
рассмотрена в [2], задача 3 к § 22 и [8], § 25.)
8.15. Уравнение движения шарика
du(y) ,
ту= -- + №)¦
Собственное движение шарика под действием пружинки описывается
"низкочастотным" смещением х = у - уо cos jt, для которого
dU (х + уо cos yt)
тх =-------------:--------.
dx
Усредняя по периоду 2-к/у высокочастотного движения
((cos2"+17t) = 0, (cos2 уt) = (cos4 yt) = |),
получим эффективную силу и соответствующую эффективную потенциальную
энергию
Um(x) = Ах2 + Вх4, А = -С + |п?/о-График функции иэфф(ж) изображен на
рис. 150.
258
Ответы и решения
[9.1
При А > О, или Т = Uq > Тс = АС/9В шарик колеблется вблизи точки .г = 0 с
частотой LO = у/2А/т ос \/Т - Тс. При А < 0, или Т < Тс, минимумы U3§§(x)
расположены в точках ±Жо = ±\/-А/2В и шарик колеблется вблизи одного из
них с частотой ш = д/-А/m ос \/Тс - Т.
Возникающая картина весьма близка к картине фазовых переходов второго
рода, описываемых феноменологической теорией Ландау [23]. Быстрые
вынужденные колебания являются аналогом теплового движения
(соответствующего оптическим модам колебаний системы, не связанным с
переходом), а величина Т = уg - аналог температуры. При больших Т система
колеблется вокруг положения равновесия .г = 0. При этом имеется симметрия
