Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 67

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 86 >> Следующая

Единичный вектор еХз, задающий направление оси, имеет компоненты еХз =
(sin#sini^, - sin0cos(^, cos#). Отсюда
ReK
cos a = -г-^ = cos в cos 0 + sin в sin 0 sin((? - Ф). (3)
R
Из (1), (2) и (3) получается окончательное выражение для функции Лагранжа
L = Т - U.
9.15. Рассмотрим вначале влияние только Солнца. Начало системы координат
совместим с Солнцем, ось Л'3 (см. обозначения предыдущей задачи) направим
перпендикулярно к плоскости орбиты Земли, ось х3 - на север.
Можно ожидать, что угловая скорость прецессии земной оси ф мала по
сравнению со скоростями суточного ф и годичного Ф вращения Земли. Поэтому
в функции Лагранжа сохраним лишь члены первого порядка по ф. Кроме того,
положим постоянными величины R, 0 = д/2 и Ф, причем
2тг 0 R3 -1 - = 27Г \ / Т7 = 1г°Д, Ф у Iм
(1)
266 Ответы и решения [9.16
и усредним cos2 а за год: (cos2 а) = (1/2) sin2 #. После этого
? = + ш(tm)") - 37^~с2)
Из сохранения= 73(ф+ф cos#) иpv = 1$ф cos# следует, что ф и # = 23°
сохраняются (с точностью до величин порядка ф). Уравнения движения по
углу #
Ъ^Мт{а2 - с2)
7i# + 1зфф sin # И-------- sin # cos # = О
ЮТ?3
с учетом того, что # #2 ~ ф2, дает
37М а2 - с2 47?3-0 а:
ф =------------------- 2----cos '
тт m О2-с2 2(а - с)
Подставляя соотношение (1) и - и -----------, получим
• ~ 3 а - с Ф2 " ,/
w и - -- ------ cos# и-16 в год.
2 а ф
Скорость прецессии, вызываемой Луной, получается из (2) заменой массы
Солнца М на массу Луны и R - расстоянием от Земли до Луны и оказывается
равной -31" в год. Полная скорость ф = -48" в год. Наблюдаемая величина
фэксп. = -50, 2" в год (см. [24], гл. 2).
Таким образом, земная ось вращается вокруг оси Х3 с периодом около 26
тысяч лет в направлении, противоположном вращению Земли вокруг Солнца
(так называемое предварение равноденствий).
9Л6- Ml +(т~ т)м2Мз = къ
\-*2
М2 +(y3- ^)m3A7i = К2, Мз+ (±-±)м1М2 = К3,
при 7i = 72
A7i = В cos(u>t + ip), М2 = В sin(a;t + <р), А73 = const,
из = ^ j- у-^А73 (см. [1], § 36, а также ср. с задачей 10.20).
9.18] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета 267
9.17. Рассмотрим движение вокруг оси, близкой к оси инерции х±. Из
уравнении Эйлера (см. [1], формула (36.5))
--П2^з = О
J-i
получаем = const с точностью до членов, пропорциональных
^2,3/f^i 1. Два других уравнения при этом условии становятся линей-
ными относительно 0,2 и H:j. Предполагая
^2,3 " est, (1)
получаем для s уравнение
= (h-mh-h)al (2)
hh
При I2 < Ii < I3 или I3 < I\ < I2 уравнение (2) имеет действительные
корни, что, согласно (1), соответствует неустойчивости вращения
относительно оси х±.
Если же момент инерции Д является наибольшим или наименьшим, то уравнение
(2) имеет мнимые корни, т. е. изменение Оо и О3 имеет характер осцилляций
и вращение вокруг оси х\ устойчиво.
9.18. Движение шара определяется уравнениями
mv = mg + f, (1)
1й> = [af], (2)
v + [u>a] = 0, (3)
где т - масса шара, I = \та2 - его момент инерции, а -
радиус шара,
проведенный в точку его касания с цилиндром, f - сила, приложенная
к
шару в этой точке (сумма сил реакции и трения), v - скорость иш - угловая
скорость шара.
Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами с осью z,
направленной по оси цилиндра. При этом необходимо учитывать, что проекция
скорости изменения любого вектора А на подвижные оси определяется
формулами
(A)v = Ар + [фА]^, = Ар + фАг, ^
(А)г = Аг + [фА]г = Аг - фАр
268 Ответы и решения [9.19
(г = b - а, ср, z - координаты центра шара, ф = vv/r). Из уравнений
mvv = , Ilvz = afv, vv + aujz = 0
получаем
vv = const, LOz = const, = 0.
Из уравнений
mvz = -mg + fZl vz - aujv = 0,
Y фсоф (lfz, 1{фог фсОцф - 0
следует
(I + ma2)u>v + Ip2uJv = 0,
откуда
lov = С сов(Ш + а), Г2 = л / --^ф =
V I + та
^ = -|? + \/ICsin(0t + a)'
С
z = zo - a-Q sin(fii + а).
Таким образом, шар совершает гармонические колебания по высоте, и в такт
этим колебаниям изменяется радиальная компонента угловой скорости.
9.19. а) В качестве обобщенных координат выбираем координаты X, Y центра
и эйлеровы углы ср, в, чр ([1], §35). Ось Z вертикальна, подвижная ось хз
направлена по оси диска. Линия пересечения плоскости диска с плоскостью
XY (линия узлов) составляет угол ср с осью X. Функция Лагранжа
L = у (X2 + У2 + а2в2 cos2 в) + \h{02 + ф2 sin2 в) +
+ т,1з{ф cos в + ф)2 - mgasm.6,
где I\ = I2 и I3 - моменты инерции диска относительно осей х\, х-2, Х3, а
- радиус, т - масса диска (высота центра диска над плоскостью Z = =
asin$).
9.19] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 269
Интегралами движения являются обобщенные импульсы
тХ = рх, mY = ру,
1\ф sin2 # + 73 cos в (ф cos в + ф) = pv = Mz, (1)
13(ф cos в + ф) =Рф = М3
и энергия. В системе координат, движущейся с постоянной скоростью (X, У,
0), центр диска движется только в вертикальном направлении. Из (1)
находим
Mz - М3 cos # • М3 Mz - М3 cos # .
<Р= г . 2Л > ^=7 г •----2л-COS°'
7i sin в h 7i sin в
и, подставляя в интеграл энергии, получаем
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed