Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
(ЗА2-
в=1м
А
(9)
и, действительно, \В\ <С А|.
'Формулы (6) определяют фазу с точностью до слагаемого тт. Определение
фазы с большей точностью не имеет смысла, так как изменение фазы на тт
соответствует просто сдвигу начала отсчета времени.
250 Ответы и решения [8.8
Таким образом,
х = a cos(cot + р) + b cos(3uit + ф),
где b = 2\B\, ф = argВ.
Нетрудно заметить, что пятая гармоника окажется малой второго порядка (~
Ь?А), седьмая - третьего (h3A) и т.д. Это служит обоснованием
используемого способа вычисления амплитуд. Четные гармоники не возникают.
8.8. а) Ищем решение уравнения в виде
х(t) = a(t) cos uit + b(t) sin wt, (1)
где a(t) и b(t) - медленно изменяющиеся функции времени. Для определения
a(t) и b(t) получаем систему уравнений (см. [1], §27)
а + (ш - ш0 + 6 = 0,
(2)
Ь- (ш - ш0 а = 0.
Если \u>i - wo| < 6.cjo/4, то ее решение
a(t) = ai(Cie~st + C2est),
b(t)=a2(Cie-st-C2est), (3)
где
s = \ о)2 - 16(щ-що)2, "1,2 = л/huj0 ± 4(w - w0).
Отсюда
x = C'est cos (uit - ip) + C" e~st cos (uit + p), (4)
где tgp = "1/0:2 (рис. 146).
Таким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают.
Скорость их роста, характеризуемая величиной s, действительно мала. В
реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, например,
если становится существенной роль ангармонических поправок (см. задачу
8.7) или обратное влияние колебаний на устройство, периодически
изменяющее частоту.
Полезно обратить внимание на аналогию между полученным результатом и
особым решением задачи о нормальных колебаниях цепочки частиц,
8.8]
§ 8. Нелинейные колебания
251
Рис. 146
Рис. 147
соединенных пружинками различной жесткости (задача 7.4 в). Неоднородность
с периодом 2а вдоль цепочки приводит к нарастанию вдоль цепочки амплитуды
установившегося колебания, причем "длина волны" равна 4а (рис. 140),
подобно тому как периодическое изменение со временем частоты осциллятора
приводит к возрастанию со временем амплитуды.
Еще более полную аналогию можно обнаружить с задачей 7.6. Области
неустойчивости относительно параметрического резонанса соответствует
запрещенная зона спектра колебаний цепочки.
К подобным же уравнениям приводит в квантовой механике задача о движении
частицы в периодическом поле. В этой задаче также появляются "запрещенные
зоны" и "поверхностные состояния", б) Если \oj - cj0 > hojо/4, то
х = С в 1 sin(Oi + ф) cos uit - С (32 cos(Qi + ф) sin wt, где О = I
^/16(w - wo)2 - (hio0)2,
p _ Г \/А(ш - lo0) ± hujQ при со > loq,
\ ±\JA(<jJ - Wo) ± hojQ при LU < LOq.
Колебания представляют собой биения:
х = С \/ 4| ui - wo| - huiQ cos(20t + ф) cos (tut + в),
где в - медленно меняющаяся фаза (см. рис. 147). Если частота
приближается к границе области неустойчивости, то глубина
модуляции колебаний
приближается к полной, а период их неограниченно растет.
Каков вид колебаний при |аэ - аэо I = hu>o/4?
252 Ответы и решения [8.9
8.9. Пусть при 0 < t < т колебание х = < г~'' . Тогда на отрезке
т < t < 2т, ^ ^ ae%UJ2t + Ье~гШ2*,
где а и b определяются условием "сшивания" при t = т:
х(т - 0) = х(т + 0), х(т - 0) = х(т + 0),
0ткуда ^ с1+ш2
2
^ _ Ш2 - Xli
2и>2
Аналогично находим, что при 2т < t < Зт
х = aelUlt +
ГДе / , >2 -L- , I2
_ с-гшгт/_________ , ,^1+^2
а = е [C0SC°2T г~2й~сё-smcj2Tj,
/З = г8тш2те3^"4^-
2cjicj2
Ясно, что колебание вида
Ae^ii + Be-mit (1)
при 0 < t < т переходит через период 2т в колебание
А(ае1Ш11 + (Зе-Ш11) + В(а*е-гШ1г + (3*el,JJlt) = = (аА + f3*B)eMlt + (/ЗА
+ a*B)e~iUlt.
Найдем такую линейную комбинацию (1), чтобы через период 2т колебание
сохраняло свой вид с точностью до постоянного множителя:
(аА + (3*B)eimt + ((ЗА + a*B)e~i,JJlt = p(Aeimt' + Be~imt'),
здесь t' = t - 2т,
aA + (3* В = ne~2iLOlT A,
(2)
(ЗА + а* В = ре2ш1Т В.
8.9] § 8. Нелинейные колебания
Система (2) имеет нетривиальное решение при условии
{а - (ле-2гШ1Т){а* - де2ш1Т) - /3/3* = О,
253
откуда j---
Mi,2 = 7 ± V7 1>
где
2 2
13 / 2iwiT\ Ш1 + Ш2 ¦
7 = Relae 1 = cos 04т coslo^t sinwir sin 04 T-
2wia;2
Через n периодов колебание
24,2 = Ah2(eiLOlt + Ai.ae"^1*), 0 < t < r,
g-2icoir _ a
Ai,2 - M 1,2------------^-----------
переходит в
24,2(3) = Mi,2-^1,2(e*Wlt + ^i,2e~lLOlt ), 0 < t' = 3
- 2пт < r.
Любое колебание представляет собой суперпозицию колебаний вида 24,2 в
частности, действительное колебание (только и имеющее непосредственный
физический смысл)
x(t) = Ае1Шг1 + А*е-1Ш1\ 0 < 3 < т,
есть сумма 24(3) + 24 (3) с
. А* - А 2А . Ai Л - Л*
А1 = ДГ4Г' А2 = д+лг
Если 7 < 1, то Mi,21 = 1 и колебания 211,2(3) (а с ними и x(t)) остаются
ограниченными.
Если же 7 > 1, то Mi > 1, и амплитуда колебаний неограниченно возрастает.
Это и есть случай возникновения параметрического резонанса. Нетрудно
убедиться, что при малой разности частот |aii -012! <С 04 это условие
выполняется, если частоты близки кттп/т:
(04 + 012)1" - 27гп| < ^ Т.
4 ' 1 04+04
На рис. 148 (взятом из [20]) показаны области неустойчивости относительно
