Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 65

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 86 >> Следующая

относительно замены х -> -х. При уменьшении температуры до значения Т <
Тс шарик начинает колебаться вокруг одного из новых положений равновесия:
Xq или - Xq. При этом симметрия х -> -х, очевидно, разрушается. Значение
Тс - аналог температуры фазового перехода второго рода. В окрестности
точки Т = ТС величина .г(| мала, х0 ос VТс - т, и мала частота
собственных колебаний ш.
Рис. 150
§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета
9.1. а)
f2a2(m + М) 2 a2(m - М) 0
2а2(т - М) 2а (т + М) 0
0 0 Аа?(т + М)
б) / Аа?т 0
0 Аа2М
0 0
9.2. Для обеих фигур одной из главных осей является ось,
перпендикулярная к плоскости рисунка и проходящая через центр инерции
фигуры (ось г). Главная ось х повернута на угол ip к стороне О'х' каждой
из фигур. Главная ось у перпендикулярна к оси х. Обе эти оси проходят
через центр тяжести фигур.
9.3] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 259
а) Координаты центра в осях О'х'у' (х' = Ь, у' = а):
Izz = 2(a2 + b2)(M + rn),
Ixx = (а2 + Ъ2){М + то) т л/{Ь2 - а2)2(М + то)2 + 4а2Ъ2{М - то)2,
1уУ - (а
¦ Ъ2)(М + то) ± (62 - а2)2(М + т)2 + 4а2Ь2(М - то)2,
. 1 2 аЪ(М - т)
при а Д Ь, <р = - arctg - ----------- .
F 2 й (a2-b2)(Af + m)
б) В осях О'х'у'z' (рис. 151) координаты центра
масс О: х' = у' = a, z' = 0. В системе координат
Ох"у"z" с осями, параллельными осям x'y'z', тензор
инерции
/3 1 СЛ J" = Ата2 110
\0 0 4у
При переходе к системе Oxyz, повернутой на угол р вокруг z", координаты
преобразуются следующим образом:
х = х" cos р + у" sin р,
У
-х" sin р + у" cos р,
Рис. 151
Z = Z ,
а компоненты тензора инерции - как произведения координат:
Ixx = I"x cos2 р + 21"у sin р cos р + Iyy sin2 р = = 4ma2(3 cos2 р + sin
2р + sin2 р),
1уу = 4ma2(cos2 р - sin 2р + 3 sin2 р),
Izz = 16 ша2,
Ixy = Ата2{- sin 2р + cos 2р),
±XZ - lyz - 0.
Угол р выбираем так, чтобы выполнялось условие 1ху = 0, например, р =
7г/8. Тогда
1ХХ = Ата2 {2 + х/2), 1уу = Ата2 (2 - а/2).
9.3. Н
г, к
260 Ответы и решения [9.4
(R - r)r3
9.4. Центр масс: точка на оси симметрии на расстоянии --------------
от центра шара влево. Тело - симметрический волчок. Относительно оси
симметрии Is = jm-(R5 - г5); относительно перпендикулярных осей,
проходящих через центр масс,
т =т Щ Г2Г7?5 5у (Д-г)2г3Д31
1 2 Д3-г31 5( } (R3 - г3) Г
9.5. А/с = (Е A.) А - ЗА (см. [2], § 99).
' 71 '
О
9.6. Центр масс расположен на оси полушара на расстоянии ^R от
О
центра шара (R - радиус шара). Момент инерции относительно любой из осей,
перпендикулярных к оси симметрии (ш - масса полушара)
I = ^mR2 - m(^R)2 = ЛтшД2. о \ о / o2i\j
При колебаниях центр масс может двигаться только по вертикали. Пусть ip -
угол поворота полушара, z - высота центра масс над плоскостью, z = = R -
~R cos р. Функция Лагранжа системы L = \lp2 + \ rriz2 - mgz, при
1 О 11
малых р имеем L = -Ip2 - j^mgRp2. Отсюда частота малых колебаний
/120 9 Ш д/ 83 ' Д'
9.7. Очевидно, скорость шарика после столкновения v может быть
направлена только вдоль или против V, т. е. v = vV/V. Скорость гантельки
после удара и направлена вдоль V, ее угловая скорость ш.
Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса (относительно
центра гантельки):
mV = mv + 2rnu,
1 тл2 1 2, 2 I 1 г 2
-mv = -mv + mu + -Ilv , rnVr = rnvr + Iu>,
т 14 2
где то - масса шарика, г - его радиус, 1 = -mr - момент инерции
гантельки.
9.9] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 261
°ТСЮДа 1 v 7 v 5 1/
v = -l3V' u = l3V' ^ = Тзг-
9.8. В настоящее время расстояния от центра инерции системы Зем-
TY) J\/f
ля-Луна до Земли и Луны равны -R и - R соответственно, а
J М + т М + т
момент импульса системы
т { ТГГ-)+ м 2Пл + Шз = ЛЬ + Шз,
\М + т/ \M + mJ
J=_Mjnn_R2 М + т
где Г2д и Оз - угловые скорости вращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг
собственной оси (Пз/Пд ~ 28). При записи (1) мы считали Луну материальной
точкой, а у Земли учитывали вращение вокруг центра инерции и вокруг
собственной оси (с моментом инерции I = |Ма2).
В момент, когда сутки сравняются с месяцем, угловая скорость вращения
Земли lo совпадает с угловой скоростью Луны, расстояние от Земли до Луны
(по третьему закону Кеплера) станет равным R(Qj\/uj)2/3, а момент
импульса .
+Ih (2)
Из (1) и (2) найдем уравнение для х =
Из
x{l + k-x)3 = к3^-, (3)
i I3
(tm)'-' = ж = 1(#)2лттг;й7"3'8-
Уравнение (3), или ж(4,8-а;)3 = 2,01, имеет два действительных корня: х\
к, 1 /55 и Х2 ~ 4. Первый из них отвечает будущему, второй - прошлому.
Соответственно в первом случае месяц станет равным 55 современным суткам,
во втором - был равен 6 часам. Расстояние от Земли до Луны станет равным
1,6Л, а было - 2,6а.
(О более реалистических, чем рассмотренная, моделях эволюции системы
Земля-Луна см., например, [24], гл. 2.)
2 ^
9.9. а) Тело вращается с угловой скоростью в тепло перешло ^ начальной
кинетической энергии.
262
Ответы и решения
[9.9
б) Линия центров вращается с угловой скоростью вокруг направления момента
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed