Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
уравнение
д2х _ х д2х _ ха2 дАх _ ^
dt2 Р д?2 12Р д?А ~
В то время, как каждое из уравнений (1) задачи 7.10 содержит смещения
трех соседних точек (дальнодействие), уравнение (1) содержит лишь
2 о4
смещение х в данной точке ? (близкодействие). Член в уравне-
нии (1) соответствует приближенному учету дальнодействия.
Подробнее об учете пространственной дисперсии и исследовании уравнения
(1) см. [19], гл. 4, §4.
§ 8. Нелинейные колебания
8.1. а) Уравнение движения
X + LOqX = - (Зх3 (1)
решаем методом последовательных приближений (ср. с задачей 6.34):
x = x0 + Sx = AeiLOat + A*e-iLOot + 5х. (2)
"Сила"
-(3x1 = -(ЗА3еЫш°г - 3(ЗА2А*еш°г - i(3AA*2e-luJot - (ЗА*3е-3гш°1 содержит
резонансные слагаемые
-3/ЗА2А*еш°г -3/ЗАА*2е-ш°1 = -ЩА\2х,
которые удобнее присоединить к слагаемому WqX в левой части (1). Это
приводит к замене
lOq -> lo2 = u>q + 3/3\А\2.
246
Ответы и решения
[8.1
Рис. 144
Для Sx получаем уравнение
Sx+lo2Sx = - /3(Д3е3гш4+компл. сопряж.), откуда
sx = i^e^.
8cj
Итак,
х = a cos(uit + р) +
компл. сопряж..
^а cos(3 Lot + 3ip), 32cj '
A = |aeiv
(ср. с [1], §28). На рис. 143 изображены графики x(t).
При [3 > 0 происходит ограничение колебаний, при [3 < 0 максимумы
становятся более острыми. Эти особенности колебаний и знак поправки к
частоте нетрудно усмотреть из графика U(x). Другие способы решения см. в
задачах 1.9 и 11.25 в.
б) Решая задачу тем же способом, что и в пункте а), получаем:
Sx = ~~3г e2iuJot
-2icoot
З^о
т. е.
х=а cos(cuot + <р) - cos(2o;oi + 2ф).
2wq 6wq
Искажение колебаний несимметрично (рис. 144).
В следующем приближении в "силе" -а(хо + Sx)2 нужно учитывать слагаемое -
2axgSx, содержащее резонансные члены
2а2
4а2|Д|:
З^о
З^о
-X =
10а2
З^о
\А\2х.
8.5] § 8. Нелинейные колебания 247
Это приводит к замене
Ъа2а2
2 2
8.2. х = a cosujt - cos 2u>t + j7"2, w = <^о +
,,o2 /э204
8.3. <z> = cos fit H------------------------- - sin
2Ш (обозначения
д-IQ2 I2(g - 1П2)(д - Ш2)
задачи 5.9).
8.4. x = + xW + ...,
(0) _ /j COS UJit /2 cos m2t
m{ujQ - (д2) ш(шд - wf) '
2
X
(1) ____________________________ a/j2______________________ <3/2
2тшд(шд - Lof)2 2m<jjQ(<jjQ - w2)2
af2 cos 2aiit a/f cos 2а12?
2m(cjg - 4cj2)(o;q - cj2)2 2to(cJq - 4cj|)(cJq - ш|)2
_____________а/1/2 cos(a;i -a;2)f__________
TOko ^ (Ш1 -^2)2](^о "wi)(wo ~ш1)
_____________а/1/2 cos(a;i + ^2)t__________
m[a$ - (aii +ш2)2](^о _ wi)(wo _ w!)
Какие комбинационные частоты возникают при учете ангармонической поправки
SU = т^С ?
8.5. Функция Лагранжа
L = Щ{х2 + у2) - |(уД - у)2+х2 - 10)2 - тоуу =
ТП / • 2 I -2 ,2 2 ,2Я12
где
I I( - 2 , -2 2 2 2 2,о 2 \ ,
= 2_(ж +У -ш2у + 2ож у) + ...,
7 7 "'•i, 2_____ л. ^0
у, I - l0 + -, ^2 -
Г u fc ' 2 rn' 2ml2
248 Ответы и решения [8.6
Действуя далее так же, как и в задаче 8.1, получаем
х = a cos(cJii + р) _jyab cos{to\t + uj2t + р + ф)+
2ui2\2uii + to 2j
аа^ ¦ cos(wii - uj2t + р - ф),
2w2(2wi - ш2)
у = bcos(oj2t А ф) A аа f3b2 Н------- -22(r)----- cos(2cJit + 2р).
2и>2 2(и>2 - 4cj2)
Ангармонические поправки резко возрастают при 2и>\ и х2. Случай 2u>i =
и>2 рассмотрен в задаче 8.10.
8.6. а) Решение уравнения ищем в виде
х = AeiuJt +A*e~i0Jt.
Приравнивая коэффициенты при егшЬ, получаем
- ш2 A 2iAcj + 3(3\А\2)А = |/,
откуда
[(cj2 -W2 + ЩА\2)2 +4AV]|A|2 =
Исследование этого уравнения, кубического относительно | Д|2, можно
провести подобно исследованию аналогичного уравнения (29.4) в [1].
8.7. а) Решение уравнения колебаний
х А 2\х + Wq(1 + hcos2ujt)x А /Зх3 = 0 (1)
ищем в виде
х = Аеш1 + (2)
причем сохраняем только члены, содержащие е±"*'4.1 Приравнивая нулю
коэффициенты при е±гшг находим
|и\А А (ш2 - шо - 2iujX - ЩА\2)А* = 0,
, (3)
+ (ш2 - А 2шХ - 3(3\А\2)А = 0.
Предполагаем, что члены с е±3гс^ значительно меньшие, будут
компенсированы вкладом в (2) третьей гармоники, как это видно из
дальнейшего.
8.7]
§ 8. Нелинейные колебания
249
Не равное нулю А возможно при условии
h, ,2 2 О
- oJq - 2iixA - 3/3|Иу
ui2 - lOq + 2iuiA - 3/3|Иу
h 2 2 0
О,
откуда
|А|:
Из (3) получаем1 sin 2(р
т Л
j-m "ГГ
А*
cos 2<р = =р-- /iljq
4Л
/^Сс^О '
fugj ~(2шХ)2
h 2
2 о
- (2wA)2
(4)
(5)
Итак,
х = a cos (art + </?),
где И = -аегср.
Рис. 145
Зависимость /1 2 от и>2 изображена на рис. 145 (для определенности
считаем /3 > 0). В некоторых областях частот возможны две или три (считая
нулевую) различные амплитуды установившихся колебаний.
Амплитуды, соответствующие участкам AD и CD, реально не осуществляются,
так как такие колебания неустойчивы (доказательство этого относительного
участка AD см. в следующей задаче, а исследование устойчивости колебаний
на участках ABC, CD и DE см. в [8]). б) С учетом третьей гармоники х
имеет вид
х = Аешг + А*е~шг + Be6%ut + В* е
?* " - 3iu>t
(8)
при этом опускаем
Мы предполагаем, что |И| <С \А\, что будет подтверждено результатом.
Подставляя (8) в (1), выделим члены, содержащие е3гш4; произведения В на
малые параметры. Оказывается,
