Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
(-х2, у2, -xi, у\) = (жх, уi, жг, г/г), откуда
г* = (ж, г/, -ж, у).
Аналогично
га = (ж, у, ж, -г/).
(Для антисимметричного колебания поворот вокруг оси симметрии равносилен
изменению фазы колебания на гг.)
Возможны два симметричных и два антисимметричных колебания; для
определения частот и векторов каждой пары колебаний достаточно
использовать два уравнения движения.
Можно получить еще некоторые сведения о виде нормальных колебаний, не
зная жесткостей пружинок. Условие ортогональности векторов колебаний rsi
и гЧ2 сводится к равенству
2m(xsixs2 + Vsiysi) = 0,
показывающему, что векторы отклонений, например, частицы 1 при каждом из
двух симметричных колебаний взаимно перпендикулярны (рис. 130, а). То же
самое относится и к антисимметричным колебаниям (рис. 130,6).
Направление, в котором отклоняется частица при каждом из нормальных
колебаний, нельзя определить, не зная жесткостей пружинок. Действительно,
если жесткость и натяжения пружинок АС и СЕ малы, то отклонения частиц
при нормальных колебаниях направлены почти вдоль или поперек пружинок BD,
и, наоборот, при малой жесткости пружинок BD нормальные колебания
происходят почти вдоль или поперек пружинок АС и СЕ.
216
Ответы и решения
[6.48
а) б)
Рис. 130
Разумеется, при вырождении частот можно выбрать и другие векторы
нормальных колебаний, не обладающие свойствами симметрии. Например, при
"выключенной" пружинке BD это могут быть колебания каждой из частиц вдоль
или поперек пружинок АС и СЕ.
6.48. Обозначим отклонения каждого из атомов от положения равновесия в
направлениях OD через О А - через yi, перпендикулярно
плоскости молекулы - через г,.
Колебания молекулы С2Н4 разделяются на сохраняющие молекулу плоской и
выводящие атомы из плоскости. Рассмотрим последние колебания.
Вектор отклонения атомов удобно записывать в форме
Если колебание к тому же антисимметрично относительно оси CD, то
Для колебания, симметричного относительно оси АВ,
Z4 = Zi, Z5 = Z2, -гб = z3.
Z3 = -Z1, Z2 = -Z2, z5 = -Z5, Z6 = -ZA.
Итак,
Это "колебание" оказалось вращением вокруг оси CD.
6.48] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы 217
Аналогично симметричные относительно обеих осей колебания
rss,2 | ММ' Qss,2-
Z1 Z!
rss = Z2 Z2
\Zl Z1/
Одно из них
t1 Л
I 11 J Qss, 1*
VI V
Это поступательное движение. Амплитуды другого можно определить, учтя его
ортогональность вектору rssi:
Amz\ + 2 Mz2 = О,
т - масса атома водорода, М - углерода.
А D
2т 2т
" М М
Д 1;
Антисимметричное относительно обеих осей колебание
1 "Л
0 0 qaa
1 У
есть крутильное колебание вокруг оси CD.
Наконец,
-С -
- I &% &% I Qas,i¦
V1 -у
Здесь для вращения вокруг оси АВ (колебание г80д) имеем сд = 1<эс/1он -
отношение расстояний атомов углерода и водорода от оси АВ в положении
равновесия; для изгибного колебания (rOS;2)
_ 2т ^он
2~ М 1ос'
218
Ответы и решения
[6.48
Аналогично могут быть рассмотрены и колебания, не выводящие атомы из
плоскости молекулы. Вектор отклонения запишем в виде
В число а.ч-"колебаний" входит поступательное движение молекулы в
направлении оси х (xi = Х2, у 1 = 0). Два других as-колебания изображены
на рис. 131, а, б.
Чтобы представить себе вид отклонений атомов при этих колебаниях,
заметим, что расстояние между атомами углерода не изменяется - связь С-С
"не работает". Если пренебречь взаимодействием относительно далеких
атомов (например, 1-4, 1-5 на рис. 40), а также жесткостью углов вида 1-
2-5, то рассматриваемые колебания совпадут с симметричными относительно
оси CD колебаниями двух "молекул" Н2С, происходящими в противофазе (ср. с
задачей 6.46; колебания молекулы вида А2В рассмотрены в [1], §24, задача
2).
Общий вид колебания as
Рис. 131
6.49] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 219
Общий вид за колебания
Xi yi -XI г/1'
О ?/2 0 ?/2 -xi yi xi г/i,
Кроме поступательного движения в направлении оси у, вектору rso
соответствуют два колебания (рис. 131, в, г). Одно из них (в) можно
представить себе как колебания двух "молекул" НдС, антисимметричные
относительно оси CD и происходящие в фазе. Другое (г) - это вращения
"молекул" Н2С в разные стороны. Если бы можно было полностью пренебречь
связями удаленных атомов и жесткостью углов вида 1-2-5, то частота этого
колебания оказалась бы равна нулю.
Среди аа-колебаний есть вращение молекулы как целого в плоскости ху,
антисимметричные колебания "молекул" I КС в противофазе (рис. 131,(1) и
их вращения в одну сторону (рис. 131, е).
Возможны также три ss-колебания (полносимметричные), они изображены на
рис. 131 ,ж,з,и (подробнее о колебаниях молекулы этилена см., например, в
[17].)
6.49. Функция Лагранжа
L = ^(^1 + ^2 + й3) - 7^{(|гю - 1*20 + Ui U2I - lf+
+ (|г20 - г30 + и2 - и3| - if - (|г30 - Гю + и3 - Ui| - If},
где I = |гю - г2о | = |г2о - гзо | = |г3о - гщ|; и0 - смещение а-го атома
из положения равновесия, определяемого радиусом вектором г0о. Поскольку
|un| <с I, имеем
