Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
?3 = 0, х2 = - Х4 = 1, Xi = 0) = 2то,
так что 5lo2 = -е* --;
w 2 т
5Кзз = -Ask, М3 = Am, 5lo3 = - |у
Представляя вектор начального смещения г(0) =
( а\ 0 0
а
\ °/
и вектор начальной
скорости г(0) = 0 в виде г(0) = 5Dr*(0) и г(0) = Х)п(0) соответственно,
найдем, что * 1
А\ = Л2 = A3 = А4 = A3 = Lpi = 0.
210 Ответы и решения [6.42
Таким образом, в данном приближении четвертое и пятое нормальные
колебания не возбуждаются, и колебания частиц
Ж1,3 = ^(icOSWit + COSO^t),
Ж2,4 = 7j(±cosa;2i - coso^t), х3 = 0
носят характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.42. В этой задаче удобно воспользоваться методом последовательных
приближений (см. задачу 6.34). Изменение масс приводит к появлению
добавки к функции Лагранжа
5L = if + 6т2 х2)-
Ее следует выразить через нормальные координаты исходной системы (см.
задачу 6.21). При этом коэффициент при произведении обобщенных скоростей
qiq2, отвечающих вырожденной частоте, оказывается равным нулю. Остальные
произведения qiqs (для од ф cos) можно опустить, как это отмечено в
задаче 6.34. Получаем
5Lx = jSrrnql + \bm2 ql + |(?mi + bm2)(ql +qj)-
Функция Лагранжа L + 5L\, как и функция Лагранжа исходной системы,
разделяется на слагаемые, каждое из которых содержит только одну из
координат qi. Координаты qi остаются, таким образом, нормальными, а для
вычисления поправок к частотам можно воспользоваться формулой (4) из
задачи 6.34:
г ?1 г ?2 Г ?1 + ?2
bid 1 = - - LO\, bid 2 - - - W3, bi03 ----------- UJ3,
X n 5mi
bid 4 = 0, ?i = -Jjjp.
Все собственные частоты системы стали различными, исчезла неоднозначность
выбора векторов нормальных колебании: с точностью до ?i это векторы (1)
из задачи 6.21.
Интересно, что при Smi = Sm2 частоты lo\ + bto 1 и се2 + bee2 вновь
совпадают друг с другом (с точностью до поправок второго порядка |&Д1 -
Sui2\ ~ В этом случае функция Лагранжа L + 6L\ снова при-
водит к неоднозначному выбору векторов нормальных колебаний. Однако
6.42]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
211
в точном решении задачи при 5т\ = бт.ь векторы нормальных колебаний имеют
вид
( 1 \
1
- 1 - ? \-l-eJ
(
1
-1
\
Та/1 + е + 9е2 ± Зе У±л/1 Т ? + 9е2 т 3?J
Л\
1
1
VV
и при малых е близки к векторам (2) задачи 6.21 (с точностью до опущенных
здесь нормировочных множителей). Резкое изменение вида нормальных
колебаний происходит в очень узком интервале изменения масс \5nii -
6rri2\ < ?2т (ср. с задачей 6.5а). Для определения векторов нормальных
колебаний в этом интервале значений 5т\, 5т,-2 можно было бы
воспользоваться следующим приближением в методе последовательных
приближений.
6.43 а. Очевидно, движения частиц в направлении осей АА и В В
независимы. Будем рассматривать движение в направлении оси А А.
Для первой и четвертой частиц положительными считаем отклонения влево,
для второй и третьей - вправо. Согласно результату задачи 6.39 нормальные
колебания г = (яд, ад, яд, яд) могут быть выбраны симметричными или
антисимметричными относительно осей АА и ВВ. Для симметричного
относительно оси АА колебания яд = я; i, яд = хз. Если к тому же это
колебание симметрично относительно оси ВВ, то яд = яд, яд = яд, так что
для этого дважды симметричного колебания имеем rss - (1, 1, 1, l)(/ss.
Для колебания, симметричного относительно оси АА и антисимметричного
относительно оси ВВ, имеем яд = яд, яд = хз и яд = - яд, яд = - яд, так
что
Xsa (1? 1? 1; 1 )Qso*
Подобным же образом находим
rOS = (1? 1? 1? 1 )Qccsj
= (1, -1, 1, -1 )qa
Аналогично находятся векторы нормальных колебаний в вертикальном
направлении.
Частоты колебаний можно найти, подставив найденные векторы в уравнения
движения.
При наличии вырождения, кроме найденных нормальных колебаний, существует
множество нормальных колебаний, не обладающих указанными
212
Ответы и решения
[6.42
свойствами симметрии. Нетрудно сообразить, например, что частоты ss и аа
колебаний совпадают toss = юаа = 2^/к/т, если натяжение пружинок не
произвольно, а равно kl (где I - длина каждой из пружинок в положении
равновесия). Но тогда нормальным колебанием будет любая суперпозиция
векторов г00 и rS3, например вектор (1, 0, 1, 0)qas-
Аналогично можно найти векторы нормальных колебании в направлении оси ВВ.
6.43 6. Соображения симметрии позволяют свести эту систему с 7 степенями
свободы к нескольким простым (не более чем с двумя степенями свободы)
системам. Действительно, вследствие симметрии системы относительно
плоскости, перпендикулярной плоскости весов, все нормальные колебания
могут быть выбраны либо симметричными, либо антисимметричными
относительно этой плоскости. Далее, нормальные колебания разделяются на
выводящие частицы из плоскости весов и сохраняющие весы плоскими.
Рассмотрим эти последние колебания.
Пусть а, [3 и у - углы отклонения от вертикали центра рамки, нити В А и
нити DE соответственно. Кроме очевидного симметричного колебания а = 0,
/3 = -у с частотой \fgj3l имеется два антисимметричных колебания, для
