Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
j
не меняет вида функции Лагранжа, то наряду с (1) должно существовать
206 Ответы и решения [6.39
нормальное колебание вида
Sr = SA cos(cot + <р), (SA)i = ^^SijAj. (2)
j
Здесь S - матрица с элементами Sij, которая по условию обладает
свойствами (Е - единичная матрица, ST - транспонированная матрица S):
ST = S, SS = E. (3)
а) Если данная частота ui не вырождена, то решение (2) может отличаться
от (1) разве лишь общим множителем:
Sr = сг.
Аналогично
SSr = cSr = с2 г. (4)
Поскольку SS = Е, то из (4) немедленно следует, что г = с2г, или с2 = 1 и
с = ±1. Поэтому для невырожденной частоты
или S г = +г, или S г = -г.
б) Если частота ю вырождена, то колебания (1) и (2) могут и не совпадать.
Но их сумма и разность
г ± Sr = (А ± S A) cos (tot + ф)
также являются нормальными колебаниями с той же частотой, обладающими
необходимыми свойствами симметрии.
в) Добавка к функции Лагранжа имеет вид AL = fi%i, где
г
f = (/i, /2, • • •, In)
- внешняя сила, действующая на систему.
Пусть сила f симметрична, а нормальное колебание г0 вида (1) -
антисимметрично относительно преобразования S, т. е.
Sf = +f, 5rn = rtt. (5)
Данная сила не влияет на колебание г0, если векторы f иг" взаимно
ортогональны (см. задачу 6.24):
(f, rtt) = 0. (6)
6.40] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
207
Из (5) следует, что
(Sf, Sra) = -(f, Го). (7)
С другой стороны, левую часть (7) можно переписать в виде
(Sf, Sra) = (f, STSra).
Из (3) очевидно, что STS = Е. Сравнивая тогда (7) и (8), получим
немедленно (6).
Остаются ли неизменными пункты а)-в) задачи, если заранее не требовать
условия S' = S?
6.40. Пусть Х{ - смещение /-и частицы вдоль кольца из положения
равновесия, для определенности считаем положительным смещение против
часовой стрелки. Система явно симметрична относительно поворота на угол
180° вокруг оси АВ, проходящей через положение равновесия второй частицы
и центр кольца. Поэтому и функция Лагранжа системы
4
i=1
не изменяет своего вида при соответствующей такому повороту замене
Х2 -> -Х2, Х\ -> -Х3, Х3 -> -Х\, Х4 -> -Х§, Х§ -> -Х4. (1)
Использование соображений симметрии (см. предыдущую задачу) и
ортогональности позволяет очень просто свести эту задачу с пятью
степенями свободы к двум независимым задачам с двумя степенями свободы
каждая.
Действительно, векторы нормальных колебаний, симметричные и
антисимметричные относительно преобразования (1), имеют вид
( а\ /с\
0 d
rs = -а COS (ujst + (fis), Г а = с COS {и at + <Ра
Ь /
\-Ъ) V/
Кроме того, одно антисимметричное "колебание" легко угадывается - это
208
Ответы и решения
[6.41
(Ct + Cl), LOa\ - 0.
вращение всех частиц по кольцу
/1\
1
Го1 = 1
1
V1/
Два других (помимо rni) антисимметричных колебания должны быть
ортогональны к r0i с метрическим тензором, определяемым коэффициентами
кинетической энергии, т. е.
m(2c + d)+2Mf = 0. (2)
В итоге в г" и г, остаются неопределенными всего по два коэффициента. Для
определения их достаточно использовать всего лишь два уравнения движения
из пяти, например для первой и пятой частиц:
тх 1 + к( 2xi - Х2 - х3) = 0
Мх 5 + к( 2хв - Х4 - xi) = 0
Подставляя сюда явный вид rs, найдем для двух симметричных колебаний
&1,2 = - 2)"1,2,
^,2 = 2^: (2м + 3тт V4M - ш)2 + 5ш2).
Аналогично, подставляя в (3) вектор г0 и учитывая (2), найдем
(3)
(М 2 1
С2,3 - (-^^02,3 - 1
, 0 2 М п
"2,3 - -4С 2,3----------------2,3,
Wo2,3 -
/С
2т М
AM + т-F \ -(AM - ш)2 + -ш2
6.41. Рассматриваемая система близка к изученной в задаче 6.28 а, функция
Лагранжа в нашей задаче отличается на малую величину
SL = 5Li(x, х) + 5Ь2(у, у) + SL3(z, z),
5Li(x, x) = y [xl + (x2 - x5)2 + (x4 - x5)2 + xl],
I - U
< 1.
6.41]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
209
И в этом случае колебания по х, у, z происходят независимо. Нас
интересуют только колебания по х.
Для определения частот колебании удобно воспользоваться методом
последовательных приближений (см. задачу 6.34). Частоты W3 4
невырожденные, так что к этим колебаниям непосредственно применима
формула (4) из задачи 6.34.
Частота lo\ исходной задачи (6.28 а) трехкратно вырождена, поэтому,
казалось бы, для определения поправок к частоте и векторов нормальных
колебаний придется рассматривать систему уравнений типа (5) из задачи
6.34. Однако свойства симметрии системы позволяют сразу же указать те
векторы нормальных колебаний исходной системы, которые мало изменяются
при добавлении 5L. Это как раз векторы (1) из задачи 6.28, потому что
именно они обладают определенными свойствами симметрии: колебание гз
симметрично относительно оси АВ и антисимметрично относительно CD, ri -
симметрично, а Г2 - антисимметрично относительно обеих осей. Поправки к
частотам этих колебаний тоже можно вычислять по формуле (4) из задачи
6.34.
Подставляя х\ = - хз = 1, х2 = Х4 = х^ = 0, находим
6Кц = -25 Ьг = 0,
так что 5и>\ =0. Аналогично
6К22 = -25L\{x\ = Х3 = хъ = 0, х2 = -Х4 = 1) = -Ask, М2 = 2Li(xi = Х3 =
