Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
ifiN+i = -fN-i+2 + 27Г, т. е. решения, отвечающие s = N + I выражаются
через решения, отвечающие s = N - I + 2.
Из (6) и (7) находим N различных частот
о / п, ¦ fs ok. TTS
^=2^msmT=2V(tm)Sm2(jvTTr
= 1,2 (8)
На рис. 136 различные частоты укладываются дискретными точками на
синусоиду. Вектор нормального колебания, отвечающего s-й частоте,
( ХЛ
х2 \xN /
N+ 1
( sin ifs \ sin 2 (ps
\sin Ncpx J
Qs(t), (9)
^5
р
р
/
о
f
г
'
А
! \ '
где
qs(t) = Re(2iBsetlVat) = Cs cos(ujst + as s-я нормальная координата, а
множитель
1 2 N
Рис. 136
N+ 1
N
Sin TKfs
-1/2
введен для нормировки: (rs, r'g) = 5ss,q2s. Общее решение есть
суперпозиция всех нормальных колебаний
228 Ответы и решения [7.2 а
Матрица перехода от хп к qs
Tins
Uns - V N + 1 Sin TV + 1
является ортогональной матрицей, приводящей функцию Лагранжа к
диагональному виду, отвечающих набору N различных осцилляторов:
N
L = J2Ls(Qs, Qs), L(qs, qs) = Щ{с[28 -uj2sq2s).
S=1
7.2 а. Уравнения движения для данной системы те же, что и уравнения (3)
предыдущей задачи, при дополнительном условии Xq = 0, хдг =
= ^./v+i • Поэтому
(2s - 1) 7Г
Г~к (2s - 1)7Г
С08 = 2\ 777 sin --7 г,
V т 2(2TV + 1)
хп = Е sin nips ¦ As cos(u)st + as).
S
Частный случай при TV = 2 см. в задаче 6.1.
7.2 б. В качестве обобщенных координат используем отклонения каждой из
частиц от вертикали (ср. с задачей 6.3). В таких переменных задача
полностью сводится к задаче 7.2. а) с к/т = д/1.
7.3. Уравнения движения совпадают с уравнениями (3) задачи 7.1 при
дополнительном условии Xq = xjq и ждг+i = х\. Поэтому
= s = 0, 1, ..., TV -1,
г, к • S7T
ш° =2Vmsm TV'
причем частоты и>8 и lon-s совпадают, а соответствующие им волновые
векторы отличаются знаком <р8 = 2л - <pn-s• Частоте и>о = 0 отвечает
движение всех частиц по кольцу с постоянной скоростью. В системе возможны
колебания вида
х^ =R
7.3] § 7. Колебания линейных цепочек 229
т. е. бегущие по кольцу волны. Упомянутое выше двукратное вырождение
частот соответствует волнам, бегущим в разные стороны. Наложение
двух
таких волн с равными амплитудами дает стоячую волну
a;(s) ± x^N~s^ = 2\А I /cos n(Ps C0S(UJA + /2)
п 11 8 [sinn<?s sin(wsi + as).
Это и есть нормальные колебания (все точки движутся в фазе или противо-
фазе).
В соответствующих нормальных координатах
R
хп = ^2(qsi cos nipa + qs2 sin rups) + q0,
8=1 (3)
I? N ~ 1 AT
Я = -2-> ~ нечетное,
функция Лагранжа приводится к диагональному виду:
? - {"" + ? [й + & - ".2(й + &)] } • (4)
(Если число частиц четное, то формулы (3), (4) следует несколько
видоизменить в связи с тем, что частота wjv/2 невырожденная; формула (1)
при s = N/2 сразу же определяет стоячую волну.)
Интересно заметить, что повороты в плоскостях qsi, qs2:
qsi = q'si C0S/5s - q'S2 sin/3s, qs2 = qsi sin/3s + q's2 cos(3S,
сохраняющие вид функции Лагранжа (4), соответствуют смещению узлов
стоячих волн:
R
xn=qo + ^2Wsi cos (nips - (3S) + q's2 sin(n^s - (3S)\.
S= 1
Для бегущих волн (1) средний поток энергии по кольцу (см. задачу 6.9)1
27Г/со
С _ СО
йср - 2л
J k{xn-1-xn)xndt = ^k\A\2Lo sin (f,
^иже для краткости мы всюду опускаем индекс $. Вычисление потока ,SCp и
энергии Е удобно производить в комплексной форме, воспользовавшись
формулами из [2], §48.
230
Ответы и решения
[7.4
а групповая скорость
dto к
^=Лр=Чшас(tm)г
где а - равновесная длина одной пружинки, р = р/а - волновой вектор.
Энергия
N N
Е =Щ^2±2п + | ^2(х" - xn_i)2 = 2N\A\2k sin2 ^ = ^Nrnu>2\A\2.
11= 1 П=1
и потому
Е _ о NaV[р - *сР.
7.4. а) Уравнения движения
(тх2п-1 + к(2х2п-1 - х2п-2 - Х2п) = о, \Мх2п + к(2х2п - х2п-1 - X2n+l) =
0,
(1)
причем Xq = X2N+1 = 0, п = 1, 2, . . . , N.
Ищем решение в виде бегущих волн разной амплитуды
'ДУМ
Х2П-1 = Ае1^^211-1^,
х2п = Вег[ш1±2п1р]. ^
Для определения А и В получаем систему однородных уравнений
12 3 N
{-тш2 + 2к)А - Me~%4> + е%ч>)В = 0,
Рис. 137 " (3)
-k(e~lv + etv)A + (-Мш2 + 2к)В = 0,
имеющих нетривиальные решения, только если детерминант обращается в нуль.
Это условие определяет связь частоты с разностью фаз колебаний соседних
частиц
7.4]
§ 7. Колебания линейных цепочек
231
Дополнительным условиям удовлетворяют только определенные линейные
комбинации бегущих волн (2), а именно:
%2n-i = As sin(2п - l)<f8 cos(ujst + а8), х2п = Bs sin 2шр3 cos(co8t +
a8),
у которых ips = ^2EiL_. Хак как <f2N+i-s = тт - <fs, то различные частоты
при выборе определенного знака в (4) мы получим лишь для s = = 1, 2, ...,
N. На рис. 137 (для случая М > т) они укладываются дискретными точками на
две различные кривые, одну из них (Ду } ) принято называть акустической,
другую (w(+)) оптической.
Общее решение имеет вид
N
Х2п-1 = X]sin(2п- l)<?s[A(+)scos(w(+)st + as)+A(_)scos(w(_)s? + /3s)],
S= 1
N
Х2П = ^2 Sin2n^s[^(+)s cos+ а8) + B{_)s cos+ /?e)], s=l
где j4(±)s и -(r)(±)" связаны, согласно (3), соотношением
2k - nujf.s
B(±)s = ДТ -A(±).-
^ ' 2k cos (fs - '
Замечательно, что #(_)" и отвечающие акус тическим частотам,
