Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
приводит к накапливающимся изменениям, которые для достаточно больших
времен становятся существенными (ср. с задачей 2.36).
6.34] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы 199
6.32. а), б)
ri
( Л
-1
-1
v v
9l0), Г2
/ Л
1
-1 v-v
92 0), Г3,4
/ Л
Tl
1
9з,4(i);
в) то же, что и в задаче 6.21, формула (1).
а -5-5 I fl /2fc + 2<5fc , , а /2/с j.
6.33. Ж1;2 = -ж3,4 = ±2 cos V -m * + 2 cos V ^
колебания частиц имеют характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.34. Можно ожидать, что изменения частот и векторов нормальных колебаний
окажутся малыми, и воспользоваться методом последовательных приближений.
Удобно перейти к нормальным координатам исходной системы (см. задачу
6.24)
Жг = ^A(f)ql.
При этом SL принимает вид
SL = \ ВШ* " SKisqtqs),
где
Z,s
SMis = , SKls = ShjA^Af,
а уравнения движения
Mt(qi + ojfqi) = - ^2{SMi3qs + SKi3q3).
(1)
(2)
(3)
Предполагая, что в нулевом приближении возбуждено только колебание qn,
можем оставить в правых частях уравнения (3) только слагаемые с s = п.
Для определения добавки к частоте uin достаточно выписать одно уравнение
(с I = п):
(М" + 5Mnn)qn + (A'Innu)n + 5Knn)qn = О,
откуда
(и>п + 5юп) -
2 Мппи1 + 5Кп
М-п + 8Мп
200
Ответы и решения
[6.35
так что
5КПп 8Мпп
(4)
Уравнения с I ф п позволяют найти поправки к вектору нормального
колебания. При этом правые части уравнений можно рассматривать как
заданные силы частоты и>п. Возбуждение колебаний qi, как мы и ожидали,
оказывается слабым, так как эти "силы" малы.
Можно получить и следующие приближения, уточняющие поправки к и>п и
векторам нормальных колебаний (см., например, [13], гл. 1, § 5).
Полезно заметить, что величина 8Мпп в (2) представляет собой добавку к
удвоенной кинетической энергии системы при условии, что скорости Xi =
нг(и). Отсюда следует, в частности, что при увеличении масс частиц 5Мпп >
0 и, согласно (4), 8соп < 0. Подобным же образом легко видеть, что при
увеличении коэффициентов жесткости пружинок собственные частоты могут
только возрастать (ср. [6], §24; [15]).
Важно понять, что изменится когда мы ищем поправку к вырожденной частоте
(пусть top = соп). В этом случае "сила" в правой части уравнений (3)
оказывается резонансной. Поэтому координата qp возрастает со временем, и
ее тоже нужно учитывать в правых частях уравнений (3). Таким образом, в
этом случае нужно использовать уравнения (3) совместно с I = п, р,
оставив в правых частях только слагаемые с s = п, р
Мп(Яп 4" x>nqn) = -8Mnnqn - 8Mnpqp - 8Knnqn - SKnpqpi
Ясно, что сказанное относится и к случаю lop и и>п.
Итак, для определения поправок ко всем собственным частотам (включая и
вырожденные) в добавке (1) к функции Лагранжа можно отбросить все члены,
содержащие произведения нормальных координат, относящихся к различным
частотам исходной системы.
6.35. Используем обозначения и результаты задач 6.27 и 6.34. Ясно
заранее, что = 0. Для остальных частот
31р (1/ р + u)pqp) - 8 A fpu/ju 8Mppqp 8Kpnqn 8Kppqp.
8idn
idn id
n = 2, 3, 4.
(1)
2
6.36] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 201
Матрица кинетической энергии диагональна, причем
Шц = Ш22 = Шзз = Ш, Ш44 = 2 Ш. (2)
Матрица 8rriij имеет единственный отличный от нуля элемент
8тц = 5т. (3)
Подставляя в (1) выражения (2) и (3), а также компоненты векторов
нормальных колебаний гп, найденные в задаче 6.27, получим
х 1 х 3 У л/б
дсо2 = --S0J2, dw3; 4 =------------?W3j4.
6.36. Векторный потенциал выбираем в виде А = Y~(-y, х, 0),
функция Лагранжа
Т Ш/-2 I -2 , • 2\ Ш/ 2 2 , 2 2 , 2 2 \ , ¦ ¦\
L - ~^\х + у + z ) -- (ш1х + со2у + co3z ) Н (ху - ух),
где сож = ¦ Для х и у получаем уравнения
х + со\х - со жу = 0,
У + со2у + сожх = 0.
Удобно искать колебания в виде
ж = Re(RelQt), у = R е(?егШ).
Система уравнений
(и>1 - Vl2)A - шжШЗ = 0, ico^VlA + (и>2 - П2)П = 0
приводит к колебаниям
х = Re(AkelQkt) = ak cos(?lkt + cpk),
- ico ж^1к -о. Л х>ж?1к
202
Ответы и решения
[6.36
с частотами
о2 - - Щ,2 - 2
Ojf + Lc>2 + LO± д/(w2 + + wj^,)2 - 4w2Cl>|
для которых справедливо соотношение Г2хГ2г = toit02- Пусть для
определенности юг > юг, ю у( >0. Тогда первое из найденных колебаний
представляет собой движение по эллипсу с большой осью, направленной вдоль
оси х, по часовой стрелке, а второе - по эллипсу с большой осью, лежащей
вдоль оси у, в обратном направлении.
Движение вдоль оси z оказывается гармоническим колебанием, не зависящим
от магнитного поля,
z = аз cos(uj3t + срз).
Свободное движение осциллятора представляет собой суперпозицию найденных
колебаний. Эти колебания можно назвать нормальными, обобщая тем самым
понятие нормального колебания: движения в направлениях осей х и у
происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз. Привести функцию
Лагранжа к диагональному виду с помощью линейного преобразования только
координат невозможно, так как переход к нормальным координатам связан в
этом случае с каноническим преобразованием (см. задачи 11.7-11.9).
