Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
тх 1 + к{ 2хг - х5) = О, тх 5 + к( 4^5 - хг - х? - Ж3 - Х4) = О, получим
два уравнения для определения а, с! и частот 014,5:
(-и>2т + 2 к)а - kd = О,
-4fca + (-too;2 + 4 k)d = 0.
Решив (3), найдем ил\ ъ = (3 =F 1/5)^| и оЦ,5 = (-1 ± -\/5)а4,5-
Окончательно
/ 1 \
1
(3)
1*4,5 =
94,5-
(4)
1 ± л/5/
Для колебании по осям у и z получаются такие же результаты, что и по оси
х. Таким образом, в системе имеется всего три различные частоты:
9 2к
= т ~ ДевятикРатн0 вырожденная и две трехкратно вырожденные
5 = (3 Т V^)^; (° снятии вырождения см. задачу 6.41).
б) Колебания вдоль оси z легко угадываются
гт
( Л
0
-1
V о)
91)
1*2
/ 0\
1
о
V-V
92,
1*3,4
I Л
Т1
1
93,4,
/2 / / / ft = 4jCOs(ofti+ <?*), COi = С02 = СОз = \1 OJ 4=)/-,
1 Пусть Г4з5 = (a, 6, c, e, d) = г, тогда условия ортогональности (r, ri)
= (г, гг) =
= (г, гз) = 0 дают соотношения а = b = с = е.
6.29]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
195
где / - натяжение пружинок, а I - длина одной пружинки в положении
равновесия.
Если / = kl, то колебания в направлении оси х (или у) имеют такой же вид,
как в направлении оси z, если считать г = {х\, Х2, хз, Х4) (или r = (2/2,
2/1, уд, Уз))- Если же / ф kl, то вырождение снимается. Два нор-
мальных колебания с частотами и>i = и х-> = совпадают с ri
и Г2. Два других по условию ортогональности должны иметь вид
- координата точки соединения пружинок, определяемая из условия
максимальности потенциальной энергии при заданных Ж1;2,з,4-Решая
уравнения, получаем
6.29. В данном случае ответ может быть получен простым обобщением
результатов задачи 6.20 без явного вычисления собственных частот u>i.
Пусть в системе имеется вырождение: и>± = 0, а и>2 = и>з. Частоте cji = 0
отвечает вращение частиц по кольцу
Здесь
f + kl
ml '
2 kf
h kl
04 = -yd 4.
m(f + kl)
196
Ответы и решения
[6.29
Из-за вырождения частоты и>2 любой вектор
МЛ
Г1 = \ А2 \ cos(cot + ip), (1)
W
удовлетворяющий условию
т\А\ + т2А2 + т3А3 = 0, (2)
представляет собой нормальное колебание с частотой ю =ю2. (Равенство (2)
есть условие ортогональности вектору ri в метрике, определяемой
коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии - см. задачу
6.22). В частности, можно выбрать такое нормальное колебание (1), чтобы
первая частица покоилась:
Hi = 0, т2А2 + т3А3 = 0. (3)
Подставляя (3) в уравнения движения
(rriico2 - к2 - к3)А3 + к3А2 + к2А3 = 0, k3Ai + (m2to2 - ki - к3)А2 +
к\А3 = 0, k2Ai + к\А2 + (т3со2 - к\ - к2)А3 = 0, мы немедленно получаем,
что они имеют решение лишь при
к3А2 + к2А3 = 0. (4)
Сравнивая (3) и (4), находим, что т2к2 = т3к3. Повторяя подобные
рассуждения для случаев, когда покоится вторая или третья частица,
получаем, что при вырождении частот коэффициенты к, с необходимостью
удовлетворяют условию
m\ki = т2к2 = т3к3. (5)
С другой стороны, из приведенных рассуждений видно, что (5) является и
достаточным условием вырождения частот. В самом деле, если выполнено
условие (5), то в системе существуют три различных нормальных колебания с
частотами, отличными от нуля. Из этих трех колебаний в силу (2) лишь два
линейно независимы. Отсюда однозначно следует, что эти три колебания
имеют одну и ту же частоту.
Таким образом, (5) является необходимым и достаточным условием вырождения
частот.
6.30] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы 197
6.30. Для решения удобно воспользоваться методом, изложенным в задаче
6.27.
а) Нормальные колебания
близки при малых е к колебаниям (6) задачи 6.18 - амплитуды векторов
колебаний совпадают, однако частоты различны. Поэтому, если в задаче 6.18
любая суперпозиция векторов г2 и г С давала также нормальные колебания,
теперь выбор вектора Г2 и Гз вполне однозначен,
б) Нормальные колебания
близки при малых е к колебаниям (6) задачи 6.18. Если перегрузок был
добавлен к частице 2, то нормальные колебания
(1)
(3 + 2е)к 2
(tm)- ттг
т 1 з т '
, ,2 _ 3к 2 _ 3 + е к_
гт 1 I F rri
1+?"1'
5т
т
близки к суперпозиции нормальных колебаний (6) задачи 6.18.
198
Ответы и решения
[6.31
'Г
в) ri = ( 1 | (С\t + С2),
1*2,3 = < "2,3
где
cos(to2j3t + ?>2,3),
62.3 ?1 - ?2 ± л/е1 + е2 - ?1?2
02.3 ?1 + ?2 Т л/?2 + е2 - ?1?2
72,3
(tm) ( 3 - ?1 - ?2 т л/?l + ?2 - ?1?2
m
dm.
m
6.31. а) Вектор начального смещения r(0)
О представляем
в виде суперпозиции векторов iy (см. формулу (1) предыдущей задачи),
взятых в начальный момент времени t = 0:
г(0) = ri(0) + г2(0) + г3(0). Аналогично представим вектор начальной
скорости г(0) = i*i (0) + г2(0) + г3(0).
(1)
(2)
Из системы уравнений (1) и (2) получим следующие значения констант:
А2 = А3 = а/2, Сг = С2 = <р2 = <Рз = 0 или
"1
COS L02t + COS L03t1 COS C02t + COSUl3t
-2 cosco3t
/ ?U)31 ,\
I COS -- COS Ul3t \
• ?Ul31 ¦ ,
m -- sm co3t b
\ - COS (jJ3t )
Таким образом, движение частиц 1 и 2 имеет характер биений, частота
которых определяется возмущением 6к, а частица 3 участвует в простом
колебании с частотой ui3. Подчеркнем, что даже очень малая добавка 5к
