Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 44

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 86 >> Следующая

что отвечает изменению фазы колебаний на тг. При частоте 7 = yjk/m
колебания верхней массы полностью демпфируются: А = 0.
На рис. 122,6 изображен примерный вид зависимости |Н| от частоты
вынуждающей си-Рис. 122 ды при наличии трения.
На каких частотах 7 будут демпфироваться колебания верхней частицы, если
к нижней подвесить еще одну частицу на такой же пружинке?
б) Вводя нормальные координаты 2 (см. формулу (5) из предыдущей задачи),
представим функцию Лагранжа (1) в виде
L = L\(qi, qi) + ^2(32, &),
5 ± л/5
L12 -
m(Qi, 2 - ^i, 2I1,2) + 11,2ka(t)
(ср. с формулой (6) предыдущей задачи).
1 Общее решение системы (2) является суперпозицией свободных и
вынужденных колеба-ний. При наличии даже малого трения свободные
колебания затухают, поэтому после большого промежутка времени решение
системы (2) не зависит от начальных условий и представляет собой
вынужденные колебания (3).
6.2]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
175
Таким образом, задача сводится к отысканию установившихся колебаний двух
независимых осцилляторов, на каждый из которых действует пилообразная
сила (см. задачу 5.19а).
Разумеется, и в пункте а) можно было решать задачу, переходя к нормальным
координатам (ср. с задачей 6.24).
6.3 а. Вводим систему координат с началом в точке подвеса и осью у,
направленной по вертикали вниз. В качестве обобщенных координат выберем
координаты х\ и х> точек /1 и !>. В выражение для потенциальной энергии U
= -тдуг - тду2 подставляем у\{х\) и у2{х\, жг) с точностью до второго
порядка по xi^/l-
а в выражение для кинетической энергии Т = тг(ад + у\ + х% + 2/|)
подставляем у\ и г/2 с точностью до первого порядка:
совпадает с функцией Лагранжа системы, рассмотренной в задаче 6.1, если
принять k = mg/l и отбросить несущественную постоянную 5mgl. Поэтому
найденная в задаче 6.1 зависимость X\(t) и Х2(t) справедлива и для
двойного маятника.
Если точка подвеса маятника движется по закону xq = a(t) <С I, то, как
легко убедиться, мы возвращаемся к функции Лагранжа, рассмотренной в
задаче 6.2.
6.3 6. Пусть ip и гр - углы отклонения верхней и нижней частицы от
вертикали. Нормальные колебания таковы: гр = 2ip с частотой Ад/Ы и ф = -
2f с частотой у/Ад/31.
У2 = У1 + л/l2 - (х2 - Xi)2 и 3^ 2[Х1^
о,
После этого функция Лагранжа
176 Ответы и решения
6.4. Закон движения
х = a cos(cJii + ip), у = bcos(u>2t + ф).
[6.4
Постоянные a, b, р, ф определяются начальными условиями. Траектория
расположена внутри прямоугольника (рис. 123):
-а ф х ф а, -ЬфуфЬ.
Рис. 123
Вообще говоря, траектория "заполняет" весь прямоугольник. Точнее, если иц
и cj2 несоизмеримы, она проходит как угодно близко к любой точке этого
прямоугольника. Движение точки в этом случае не является периодическим
(хотя движение ее проекций на оси координат периодическое). Если же uj\ и
cj2 соизмеримы (lu>i = ruv-2, где Inn- целые числа), то траектория
представляет собой замкнутую кривую, называемую фигурой Лиссажу. Движение
в этом случае периодическое, период равен 2irn/u>i.
6.5. а) Для данной системы переход к нормальным координатам есть просто
поворот в плоскости (х, у) (рис. 124):
х = Q1 cos р - Q2 sin ip, у = Qi sin p + Q2 cos p.
(1)
Действительно, кинетическая энергия при повороте не меняет своего вида, а
в потенциальной энергии коэффициент при Q1, Q2, равный
- - w|) sin 2ср - acos2<^,
можно обратить в нуль, если определить параметр р из условия
ctg 2р =
2 а
Зависимость р от u>i показана на рис. 125; ширина области частот, в
которой происходит переход от^ = 0к(^ = 7г/2 порядка а/сээ-
6.5]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
177
При слабой связи, а <С - cj|| нормальные колебания локализованы, т. е.
при oj\ < и>2 оказывается ср " 0 и х " Qi, у " Q2,
~ -Q2,
а при cji > CJ2 получаем ^ | и з;
У " Qi-
При
ж ~ -W<2i - Q2), у
V 2
|| <С а нормальные колебания перестают быть локализованными: <р и j,
^=(Ql + Q2) (CM. [1],
V2
§ 23, задача 1).
Нормальные частоты
Рис. 125
[со\ + cj| =F ^(lo\ - Lvf)2 + 4а2]
(2)
лежат вне интервала парциальных частот1, т. е. Hi < и>\ и S?2 > и>2 (для
определенности считаем и>\ < и>2)- Соотношения подобного рода для систем
со многими степенями свободы известны под названием "теорем Рэлея" (см.
[15] и задачу 6.23).
Зависимость П| 2 от показана на рис. 126.
Видно, что отличие нормальных частот Пц 2 от парциальных cji 2 (равно как
и нормальных координат Q1, Q2 от координат х, у) при малых а
несущественно всюду, за исключением области вырождения |< а. При
достаточно малых cji одна из нормальных частот становится мнимой -
система перестает быть устойчивой.
В координатах Qi и Q2 закон движения и траектория такие же, как в
предыдущей задаче.
б) Нормальные координаты можно получить в этом случае из результатов
предыдущей задачи
простой заменой uj\ 2 -> П! i. 2, причем нормальные частоты данной задачи
обратны нормальным частотам Пут предыдущей задачи. Почему?
Можно ли обнаружить факт независимости нормальных частот от знака а (или
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed