Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
т. е. каждая из двух гармоник силы передает энергию независимо от другой
(здесь период Т = Щ-).
г\ оо I |2"2
61 а = V ______________________________________
J 171 (CJ2 - "2^2)2 + 4A2CJ2n2 '
в) (А) = А Г № + AAI 1
' v / 771 / 2 2 \2 I л\2 2 / 2 2\2 , л \ 2 2
*
L (cjq - a?i) 4Л о?! (а;0 - а?2) Н- 4А о;2 -
При усреднении за большой промежуток времени Т АД- оказывается, что
каждая из сил Д coscjii и Д costo2t передает энергию осциллятору
независимо. Это связано с тем, что лишь средние квадраты
тригонометрических функций отличны от нуля. При Т -> оо
A j sin2 LO\t dt = | + (1 -sin2cJiT) ->
а средние значения перекрестных произведений типа sinwif • coscJii и т.
д. исчезают. Например, при Т -> оо
т
if. л , u 1 - cos(cji - CJ2)T , 1 - cos(cji + Сй2)Т
- / • coscd2tdt = :-> 0.
TJ 2{lo1-lo2)T 2(cji +uj2)T
о
г) Смещение осциллятора
ОО
f ip{to)eliJJtdLO
x =
lUq - uj + 2iXu>
- OO
отсюда полная работа силы F(t) равна
00 00
а"
При доказательстве последнего равенства использовано обратное пре-
ОО
образование Фурье J F(i)elujtdt = 2mp*(ui).
5.21]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
171
При A <<w0 основной вклад в интеграл (1) дает окрестность вблизи
собственной частоты осциллятора и> = u>q.
Поэтому
А:
т
doj
(Wq - CJ ) + 4А
При этом сомножитель, стоящий в квадратных скобках, легко вычис-
|2тг?/>(с^о) |2
ляется и оказывается не зависящим от А, А = ------------------- (ср.
с форму-
лой (22,12) из [1]).
5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора х есть малая величина первого
порядка по F, получим
ОО ОО
АЕ = J F{x,t)xdtK, J f(t)xdt,
- ОО
оо
АР= F(x,t)dt " / [/(;)-/(;) А
dt.
Интегрируя второе слагаемое по частям, найдем
ОО
АР= J f(t)dt +
В частности, если J f(t) dt - 0, то АЕ = VАР.
- ОО
Поясним условие малости х на примере действия на осциллятор группы волн
/(f) = cos7f. Малым параметром в разложении F(x, t)
является х/Х, где А = 2гкУ/г) - характерная длина волны, т. е.
172 Ответы и решения [6.1
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
6.1. Пусть Xi - отклонение г-й частицы от положения равновесия (г = 1,
2). Функции Лагранжа системы
L = Щ {х\ + х22) - |[х? + (xi -х2)2]. (1)
Уравнения движения
тх 1 + к(2х\ - ж2) = 0, тх 2 + к(х 2 - 2д) = О
подстановкой Xi = Ai cos(cot + ср) сводятся к системе алгебраических
уравнений
(-тсо А 2к^)А\ - кА2 = 0, -кА\ А (-тсо А &)Л2 = 0. (2)
Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:
(-тпш2 + 2к)(-тсо2 А к) - к2 = 0. (3)
Отсюда получаем собственные частоты
о =
3 A /б к
Т2 2 т'
Из двух уравнений (2) в силу (3) лишь одно независимо. Подставляя
значения со\ и cj2 в (2), получим соотношения между амплитудами
2
Ai = ------А2 = А дляш=Ш1,
/5 + 1
2
Ах =------------А2 = В для со = С02-
л/5 - 1
Таким образом, свободные колебания системы суть
х\ = A cos(cji? + срi) + В cos(co2t А ср2),
/5 + 1, < + , ^ /5 - 1 D , , , ^ (4)
ж2 = -2-n.cos(cJif + ср 1)---------------------В cos(cj2f + у>2).
Постоянные Л, В, р\, д2 определяются начальными условиями.
6.2]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
173
Свободные колебания (4) полностью описывают движение системы. Однако при
решении многих задач удобнее пользоваться нормальными координатами,
например в задачах с вынуждающей силой (см. задачи 6.2 6 и 6.24), при
построении теории возмущений (см. задачу 6.34), при переходе к квантовой
механике. Это связано с тем, что нормальные координаты q*, определенные
равенствами
xi = qi +<72,
л/Е +1 л/Е - 1
Х2 = -2-Ql-------------2-g2?
приводят функцию Лагранжа (1) к сумме квадратов
г 5 + л/5 , _2 2 2\ I 5 - л/б , ,2 2 2\ /а\
L= m{q1-L01q1) +---m(q2-u2q2), (6)
а уравнения движения для q\ и q2 разделяются:
Яг + ш1яг = 0.
Подобным же образом задача о движении двух взаимодействующих тел сводится
к задачам о движении центра инерции и о движении частицы с приведенной
массой в заданном силовом поле.
Отметим, наконец, что более общий случай системы N частиц с одной точкой
подвеса рассмотрен в задаче 7.2.
6.2. Функция Лагранжа системы
L = Щ (*1 + *!) - | [(^1 - я/))2 + ixi - х2)2} ¦
Если отбросить член - /ka2(t), представляющий собой полную производную по
времени, то L можно переписать в виде
L = Lq + AL, AL = x\ka{t), (1)
где Lq - функция Лагранжа системы с неподвижной точкой подвеса (см.
формулу (1) из предыдущей задачи). Такая запись удобнее тем, что сразу
позволяет выписать "вектор" внешней силы
(йНТ)
174
Ответы и решения
[6.2
а) Уравнения движения
тх 1 + к{2х\ - Х2) = ка cos 71, тх 2 + к(х 2 - xi) = 0 xi-Acosjt, Х2 - В
cos'ft
(2)
подстановкой
приводятся к линеинои неоднородной системе двух уравнений относительно Ап
В. Отсюда
А :
В
ак(-тх/2 + к)
т2( у2
-^i2)(72
ак2
' UJe)
т2(72-со2)(72-со2
ГТТР . ,2 _ 3 т лД> к
где -
нормальные частоты
2 т
системы.
Зависимость амплитуд А и В от частоты 7 изображена на рис. 122, а.
При переходе через точки резонанса 7 = ш1,2 амплитуды А и В меняют знак,
