Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
квадратичные формы - для кинетической и для потенциальной энергии.
Поскольку в (5) кинетическая энергия уже пропорциональна сумме квадратов
скоростей, то преобразование от ау к нормальным координатам, не меняющее
ее вида, должно быть ортогональным, а векторы соответствующих нормальных
колебании - взаимно ортогональными. Векторы iy независимы, но не
ортогональны друг другу: rir2 = щгз = 0, но Г2Г3 ф 0. Чтобы получить
нормальные координаты, достаточно в плоскости векторов Г2 и Г3 выбрать
два взаимно ортогональных вектора. Это могут быть, например, вектор г2 и
ортогональный ему вектор er/:j, где единичный вектор е найден из условия
eri = ег2 = 0. В итоге набор нормированных векторов1
Разумеется, любые координаты, полученные из q2, с/3 ортогональным
преобразованием (т. е. простым поворотом вокруг Г|), также являются
нормальными координатами.
'Множители 1/\/3 и 1 /ф'2 введены для того, чтобы нормировать векторы iу
условием 14г*, = б,/,с//', при этом условии преобразование (7)
ортогональное.
1 = Щ{х\+Х2 + ±1) ~ |[(Ж1 - ж2)2 + (ж2 - Ж3)2 + (х3 ~ Жт)2]. (5)
(6)
позволяет определить нормальные координаты:
(7)
которые приводят функцию Лагранжа (5) к виду
Т ТО / ¦2 , -2 2 2, -2 2 2\
L = ^{q1+q2 -w2<?2 +q3 - uJ3q3).
(8)
186 Ответы и решения [6.19
6.19. Начальные условия для смещения ж* вдоль кольца
xi(0) = а, жг(0) = жз(0) = жДО) = 0.
Отсюда для нормальных координат qi (см. формулу (7) предыдущей задачи)
найдем начальные условия:
<?i(0) = -^, q2(0) = ^-, g3(0) = ^z, *(0)=0.
V3 у2 уб
Поэтому
a a , a ,
?! = -, q2 = - cosu2t, q3 = - cos iv3t,
V3 v2 V6
и с учетом того, что ж2 = и>3, получаем окончательно
а , 2а , а а ,
XI = - + - cosco2t, х2 = х3 = - - - COS L02t.
6.20. Пользуемся обозначениями задачи 6.18. Функция Лагранжа системы
L = + 2^2 + Зж|) - ^ [2(ж1 - х2)2 + 6(^2 - х3)2 + З(ж3 - Ж1)2]. (1)
Уравнения движения подстановкой ж* = Ai cos {tot + ip) сводятся к системе
трех алгебраических уравнении:
(-tow2 + 5k)Ai - 2кА2 - ЗкА3 = 0,
-2кА\ -[- (-2mto2 -Ь 8к')А2 - QkA3 = 0, (2)
-3kAi - 6кА2 + (-3 mui2 + 9k)A3 = 0.
Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:
со2(тсо2 - 6 к)2 = 0.
Отсюда находим собственные частоты системы:
6.20] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
187
Значению и>± = 0 отвечает очевидное решение - вращение по кольцу с
постоянной угловой скоростью
'зЛ
ri = | 1 | qi, qi(t)=Ct + Ci. (3)
Для совпадающих частот lo2 = со3 в системе (2) лишь одно уравнение
является независимым:
А\ + 2Л.2 + ЗДз = 0. (4)
Любые наборы величин Ai, удовлетворяющие условию (4), дают колебания с
частотой и>2. В частности, можно выбрать такие колебания, чтобы первая,
или вторая, или третья частица покоилась:
(5)
qi = Cicos(to2t + рф, i = 2,3,4.
Согласно (4) любая линейная комбинация векторов (5) ортогональна вектору
Легко убедиться, что набор векторов
ri, г2, Гд = q3 (6)
позволяет, как и в задаче 6.18, определить нормальные координаты, которые
приводят функцию Лагранжа (1) к диагональному виду. Векторы (6)
удовлетворяют не простому соотношению ортогональности (как в задаче
6.18), а соотношению "ортогональности с весом" (см. задачу 6.22).
188
Ответы и решения
[6.21
6.21. Векторы нормальных колебаний
( Л
Г1
у/2
гз =
0
1
V о/
( Л 1
1
V-1/
91,
Г2
/ 0\
1
О
V-1/ Л\
92,
(1)
9з,
г4 =
1
1
V1/
94,
qi=Aicos(u!it + <pi), 1 = 1,2,3; 94 = A4i + A5,
ил=^2 = \[Щ, и3 = 2^.
Функция Лагранжа системы
7- т / ¦ 2 , ¦ 2 , ¦ 2 , -2 2 2 2 2 2 2\
? = yWi + 92 +93 + 94 -^9! -w292 -uJ3q3).
Это, конечно, не единственный выбор. Любые векторы, полученные из данных
поворотом в плоскости, определяемой векторами Г| и гг, также будут
векторами нормальных колебаний, например:
г' - I Г1 " 2
( Л
1
-1 \-у
9i,
г' - I
Г2_ 2
( Л
-1
-1
v v
92, г3 = г3, г4 = г4
(2)
(поворот на 7Г/4). Но векторы г4, г2. гз, г4 хотя и независимы, но не
приводят функцию Лагранжа к сумме квадратов.
6.22. Амплитуды нормальных колебаний удовлетворяют уравнениям
-и? ]Г rriijAf + Y hjAf = 0, (1)
-w2 У] шуЛу + У] kijA^ = 0.
J j
(2)
6.23] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 189
Умножим уравнение (1) на А^8\ а уравнение (2) - на ААК Взяв в
обоих
уравнениях сумму по г, получим
-щ? Y mijAfA^ + Y bjA?48) = 0, (3)
Ц ij
-Vs Y m*3A<jS)Ail) + Y k*3A<jS)Ail) = °- (4)
Ц ij
Вычтем уравнение (4) из уравнения (3), учитывая, что m^- = rriji и hj=
kji, получим
К2 - v?) Y mijA^Af = О,
ч
т. е. при cos ф (oi
Ym4A{^Af= 0, (5)
ч
и одновременно из (3)
Е^А(8Чг) = 0- (6)
ij
Удобно воспользоваться терминологией, принятой в линейной алгебре. Набор
амплитуд данного колебания будем называть вектором амплитуды = (Af\ А^ \
..., А^). Доказанные соотношения (5) и (6) означают, что амплитуды AW и
А!,) взаимно ортогональны, если скалярное произведение определять с
помощью метрических тензоров гпц или кц.
В случае вырождения (если los = од) амплитуды Afs-' и А,,! не обязаны
удовлетворять соотношениям (5) и (6). Но в этом случае всегда можно
