Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
которых (3 = у. Так как вклады различных нормальных колебаний в функцию
Лагранжа аддитивны, то для нахождения антисимметричных колебаний
достаточно знать лишь слагаемое
La = ml2 (2а2 + 9/32 + 3 а/3) - тд1(а2 + 3(32),
отвечающее данному типу колебаний. В итоге получаем два антисимметричных
колебания: а = (3 = у с частотой yj2g/7l и а = -3(3 = - Зу с частотой
\j2g/3l.
Для описания колебаний, выводящих частицы из плоскости весов, используем
декартовы координаты отклонения частиц от положения равновесия в
направлении оси х, которую направим перпендикулярно равновесной плоскости
весов. Очевидно, что симметричные колебания ха = ¦>'в, хв = %D совпадают
с колебаниями двойного плоского маятника (см. [1], задача 2 к §23 с
параметрами mi = m2 = 2m, l\ = 1/2, I2 = 31, уу = 2хв/l, У>2 = (ха -
хв)/31), поэтому со2 = д(7 =F \/37)/31, и ха = (6 ± \/37)хв-Среди двух
антисимметричных колебаний ха = -%е, хв = -ад одно очевидное - вращение
весов вокруг вертикальной оси: ха = •/'/;. Другое антисимметричное
колебание ортогонально к указанному и потому для него ха = -хв = х в = xi
в Но при таком колебании центр каждой нити в
6.45]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
213
первом приближении не смещается, следовательно, частота таких колебаний
совпадает с частотой маятника длиной 32/2, т. е. равна \j2g/%l.
6.44. Очевидно, колебания в направлениях АА, ВВ и в направлении,
перпендикулярном плоскости рамки, независимы. Рассмотрим, например,
первые.
Компоненты вектора колебания удобно размещать в таблице, соответствующей
форме рамки. Для частиц, расположенных слева от оси ВВ, положительными
считаем отклонения влево, для частиц, расположенных справа - вправо.
Колебание ss, симметричное относительно обеих осей /1/1 и ВВ, имеет вид
(х X X х\
^ж X X х)'
Колебания х, X сводятся к колебаниям системы, рассмотренной в задаче 6.7
с mi = т, Ш2 = М, где следует положить кг = к + к', к3 = к, к3 = 2к + к',
к1 = //I. Таким образом, имеется два ss колебания.
Колебания sa, симметричные относительно оси /1/1 и антисимметричные
относительно оси ВВ, имеют вид
(х X -X -х\
^ж X -X -жJ '
причем теперь кз = к', кг = к + к1.
Аналогично для as- и аа-колебаний:
\ \ Х ) , кг = к + ЗА;', к3 = 2к + ЗА:',
-Л. -Л. -х J
Хх ~Х кг = к + Ък', к3 = Ък'.
Подобным же образом можно найти остальные шестнадцать нормальных
колебаний.
6.45. В обозначениях предыдущей задачи вектор силы
-k - У -У У k л- У\
tv tv I tv " tv " tv | tv \
к к' к' к' k + k'lacosit-
tV -- tV 5--rv 5 rv 5 rv ^ rv J
Он ортогонален всем нормальным колебаниям, кроме симметрично-
антисимметричных (sa). Поэтому резонанс возникает лишь при двух частотах
214
Ответы и решения
[6.46
7 = щ|"2, где
2 т М
1
|/с(2М + т) + + ш)±
±\ к{2М - т) + - (М - т) + Ак2Мт
/
6.46. Линейная молекула С2Н2 имеет всего семь нормальных колебаний: три
продольных колебания и по два изгибных колебания в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях (см., например [1], §24).
Задача об определении двух симметричных продольных колебаний х\ = - Х4,
Х2 = -Х3. сводится к задаче 6.7 с параметрами кз = /снс, кз = 2ксс, ki =
0, где /снс и ксс. - жесткости связей НС и СС. Антисимметричное
продольное колебание х\ = х4, Х2 = Х3, тцХ\+тсХ2 = 0 имеет
частоту соа 1 = \j ^нс tHH+mC) (такУю же, и "молекула" СН). Заметим, что
продольное смещение молекулы как целого х\ = Х2 = хз = х i можно
рассматривать как второе антисимметричное колебание, причем условие
ортогональности к нему первого антисимметричного колебания совпадает с
условием равенства нулю полного импульса молекулы.
Поперечное симметричное колебание у\ = у4, у2 = Уз,
Здесь кцсс - жесткость молекулы при изгибе: при изгибе связи НСС на угол
6 потенциальная энергия возрастает на кцсс^2/2.
Поперечное антисимметричное колебание у\ = у\, уо = -уз,
где /не и /сс - равновесное расстояние между атомами Н-С и С-С
соответственно. Отметим, что соотношение между смещениями атомов этого
колебания может быть найдено из условия равенства нулю полного момента
импульса молекулы (или ортогональности вектору чистого вращения молекулы
как целого у4 = -у4, у2 = -уз, 2/2(2/нс + /сс) = 2/1/сс, которое можно
рассматривать как второе антисимметричное колебание).
шн2/1 + тсу2 = 0, uj2S3
/Щсс(ган + me)
/нстншс
тс1ссУ2 + тц(1сс + 2ZHc)2/i = О,
_ /снсс[тс/сс + wh(2/hc + /сс)2] 2 шншс/нС/сс
6.47]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
215
6.47. Обозначим отклонения частиц от положения равновесия в направлении
BD через х\ и жг, а в направлении CF - через у \ и у2. Поворот вогфут оси
симметрии CF на 180° приводит к заменам:
XI 77 -х2, г/1 77 г/2,
т. е. преобразование S поворота вектора колебания г = (яд, гц, х2, ?/2)
имеет вид
Sг = ( х2, г/2, -жь г/i).
Вследствие симметрии системы в ней возможны нормальные колебания двух
видов: г, - симметричные относительно оси CF, для которых Srs = г,, и
антисимметричные г0, для которых Sга = -га. Для симметричного колебания
