Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 56

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 86 >> Следующая

| (й? + й! + й§)
(1)
- |{(ei2(ui - и2))2 + (е23(и2 - и3))2 + (e3i(u3 - U1))2}, гДе гю - г20
г20 - г30 г30 - гю
ei2 - j , е23 - , e3i - .
В системе отсчета, где полный импульс m(iii + U2 + й3) = 0, выполняется
условие
Ui + u2 + u3 = 0. (2)
220
Ответы и решения [6.49
Кроме того, накладываем на un условие
[rioiii] + [r20u2] + [r30u3] = 0, (3)
равносильное требованию, чтобы момент импульса молекулы
М = + и0) й0]
(4)
обращался в нуль с точностью до первого по-рИС 132 рядка по и"
включительно.
Оказывается удобным выбрать для описания движения каждого атома свою
систему декартовых координат (рис. 132), сохраняя таким образом симметрию
в описании системы. Равенства (2), (3) в этих координатах дают1
1
У1
2/2
-,У2-
откуда
Х3 - Х2 2/1 = 2/2 =
Уз \ ( ' 1 Уз
-гХ2) + ( Г2Уз + 2
Уз \ ' 1 Уз
+ ( ~2У1 - 2
Х\ - - Хз
(5)
(6)
Уз
Уз '
2/з =
х2 - Х\
L = + ±3) - у (±1±2 + Х2Х3 + Х3Х1) - |к(х\ + ж2
+ х2з).
Одно нормальное колебание (полносимметричное) очевидно:
(!) (В W 1 х\> =х\> =х\> = -qi.
(7)
Например, умножая обе стороны равенства (2) на е2з> получим (5). При этом
нужно учесть, что вектор е23 в различных системах имеет координаты
л/3 1'
В Ua - Уа)а•
Равенство (6) получается из (5) круговой перестановкой индексов.
6.49] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 221
Два других колебания ортогональны первому, что приводит к условию1
+ х^ + х^ =0, s = 2, 3. (8)
Одно из этих колебаний симметрично относительно оси X ]_. X *2 - X 3 ,
(3) А (3) (3)
другое - антисимметрично: х\ = 0, х2 = - xz .
Учитывая (8), имеем
Замена
(2) 0 (2) 0 (2) /2 х\ = -2х\ = -2х\ = J -q2l
(з) (з) 1
х2 = -4 = ^9з-
1 . [2 Xl = v^qi + уз92'
1 1,1 Х2 = -рЧ1 р<?2 + -93,
л/з \/6 f2
111
хз = -рЯх pQ2 рЧз
лД л/6 лД
(9)
приводит функцию Лагранжа к виду
L - yr(9i + 2g! + 2qi) - xr(qi + 92 + 9з)- (Ю)
Рис. 133
Нормальные колебания, соответствующие этим координатам, приведены на рис.
133. Их частоты
/о k I 3к
^ ~}/3т' Ш2-Шз-у2^'
Вид функции Лагранжа (10) сохраняется при повороте в плоскости q>2, Qs-
Использована метрика kij. В (7), (9) множители перед q выбраны так, что
(02 , (02 , (02 2 С) +(r)2 +Ж3 =Щ-
222
Ответы и решения
[6.50
Момент импульса с учетом квадратичных по иа членов
Iм! = т|^[иайа
а
может быть отличным от нуля, если колебания q2 и дз происходят со сдвигом
фаз.
Интересно разобраться, какие изменения может внести в эту картину
зависимость потенциальной энергии от углов, образуемых связями. Очевидно,
на частоту колебаний q\ такая зависимость не повлияет. Частота колебаний
q2 и дз изменится, но двукратное вырождение сохранится. Действительно,
наряду с некоторым колебанием q возможно также колебание, полученное из q
поворотом на 2тт/3. Его частота должна быть такой же, как и частота
колебаний q. С другой стороны, оно отличается от д (при повороте на 27г/3
само с собой совпадает только колебание д\). Таким образом, мы
обнаруживаем два независимых колебания с одной частотой. Нормальные
координаты в этом случае должны удовлетворять только одному условию: быть
ортогональными qi; в частности, дз и дз остаются нормальными
координатами.
6.50. а) Вводим координаты атомов В так же, как в предыдущей задаче, для
атома А - координаты Х4, у4, Z4 с осями, параллельными х\, у\, z\ и
началом в центре треугольника.
Есть четыре степени свободы движений, выводящих атомы из плоскости ху.
Три из них отвечают поступательному движению вдоль оси z и вращениям
вокруг осей Х4 и у\, а одно - колебанию (при котором, очевидно, z\ = z2 =
Z3, rriAZ4 + m(zi + Z2 + Z3) = 0). Частота этого колебания lo\
невырожденная, она лишь случайно могла бы совпасть с частотой какого-
нибудь другого колебания.
Рассмотрим колебание атомов в плоскости ху, симметричное относительно оси
Х4. Общий вид такого колебания:
2/1 =0, х2= хз, 2/2 = -2/3, 2/4 = 0.
Вектор смещения содержит четыре независимых параметра: х\, ./у, у2, -''ь
т. е. на такие движения приходится четыре степени свободы. Одна из них
отвечает поступательному движению молекулы вдоль оси Х4 одна -
полносимметричному колебанию
= т\д2дз - дз&\
xi=x2= хз, i/i = 2/2 = 2/з = %4 = 2/4 = 0
6.50]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
223
Л
А
А
а)
б)
в)
А
г)
Рис. 134
с частотой 0J2 (рис. 134, а), а две остальные - колебаниям, нарушающим
симметрию молекулы. Частоты этих колебаний uj:> и и>4 (рис. 134,6, в).
Из четырех оставшихся степеней свободы одна приходится на поступательное
движение в направлении оси у 4, одна - на вращение вокруг оси Z4, а две -
на колебания. Это колебания, которые могут быть получены из уже указанных
с частотами С03, to4 поворотом на 2л/3 вокруг оси Z4 (ср. с предыдущей
задачей).
Итак, частоты u>i, 102 - невырожденные, частоты uj:> и х\ двукратно
вырождены.
Заметим, что векторы колебания, антисимметричного относительно оси Х4,
можно получить, зная вектор симметричного. Для этого достаточно взять
определенную суперпозицию колебаний, полученных из последнего поворотами
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed