Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
вокруг оси Z4 на углы I 2тг/3, а именно - их разность (см. рис. 134, г).
б) Изменения собственных частот можно определить, используя теорию
возмущений (см. задачу 6.34):
Для полносимметричного колебания в качестве нормальной координаты выберем
х\. Тогда величины М и 5М определяются как коэффициенты в выражениях
кинетической энергии и добавки к ней:
224
Ответы и решения
[6.51
так что
Для колебания вдоль оси z кинетическая энергия и добавка к ней равны
Например, для хлорида бора замена одного атома хлора с атомным весом 35
на изотоп с атомным весом 37 уменьшает частоты и>± и и>2 на 0,1% и 1%
соответственно.
6.51. Пусть колебание, при котором молекула остается подобной сама себе
(рис. 135,а), происходит с частотой to\.
Частота и>2 колебания, сохраняющего свой вид при поворотах вокруг оси OD
на угол 27г/3 (рис. 135,6), вообще говоря, отлична от Иное распределение
смешений атомов можно получить, производя отражение смещений в плоскости
ВСО; получится колебание, отличающееся от второго лишь тем, что атомы А и
D поменялись ролями. Частота этого колебания сэз = и>2- Подобным же
образом отражение в плоскости АОС меняет местами атомы В и D, сохраняя
частоту jJ i = и>2- Это четвертое колебание не сводится к суперпозиции
предыдущих, так как, в отличие от них, несимметрично относительно
плоскости AOD.
Колебание, симметричное относительно плоскости АОВ и DOC (рис. 135, в),
имеет частоту отличную от lo\ и Поворот на угол 27г/3
так что
и>\ тх5т 2 3ш(3ш + шд)
С
а)
б)
в)
Рис. 135
6.52]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
225
вокруг оси OD, равносильный круговой перестановке ,1. I) и С, приводит к
колебанию, симметричному относительно плоскостей СОА и DOB, а его частота
cj@ =015.
Итак, молекула обладает тремя собственными частотами одно-, дву-и
трехкратно вырожденными.
В заключение заметим, что молекул, рассмотренных в задачах 6.49 и 6.51,
по-видимому, не существует в природе. Однако подобный же метод
исследования может быть применен и к реальным молекулам.
6.52. а) При полносимметричных и дважды вырожденных колебаниях, указанных
в предыдущей задаче (см. рис. 135, а, в), атом углерода остается
неподвижным. Есть еще две трехкратно вырожденные частоты. Соответствующие
колебания похожи на колебания, изображенные на рис. 135, б, только атом
углерода колеблется либо в том же направлении, что атом D, либо в
противоположном.
б) Добавка к функции Лагранжа, описывающая действие электрического
поля S(t), есть
5L = S(t)^2 eaUa,
a
где ea - заряд, иа - смещение a-го атома.
4
В любом колебании т ua + mens = 0, так что
а=1
5
^eaua = -ei (Jjff +4)u5-
a=l
При полносимметричном и дважды вырожденных колебаниях J^eaua = 0 и эти
колебания не возбуждаются. При колебании рис. 135,6, напротив, Y eaua ф 0
и подобные колебания возбуждаются.
Итак, резонанс возможен на двух частотах.
Вектор S можно разложить на три слагаемых Sj, параллельных осям симметрии
каждого из трех колебаний молекулы с вырожденной частотой. Каждое из
слагаемых Sj приведет к колебанию атома углерода с амплитудой,
пропорциональной Sj, и одним и тем же коэффициентом пропорциональности х.
Поэтому U5 = xS и | U51 не зависит от ориентации молекулы. Можно
убедиться, что амплитуды колебаний атомов водорода щ,2,3,4 тоже не
зависят от ориентации молекулы и параллельны вектору S.
226
Ответы и решения
[7.1
§ 7. Колебания линейных цепочек
7.1. Функция Лагранжа системы
N Г N
L(x, х) = Щ ^2 Х1 - | Х1 + ^2(хп - Xn-i)2 + x2n , (1)
n=l L n=2
где .г.,, - смещение гг-й частицы из положения равновесия. Введем также
координату положения равновесия гг-й частицы Хп = па, где а - равновесная
длина одной пружинки. Система уравнений Лагранжа
{тх 1 + к(2х\ - Х2) = О,
тхп + к(2хп - ж"_1 - xn+i) = 0, п = 2, 3, ..., N - 1, (2)
тх n + к( 2xn - xn~i) = О
эквивалентна системе
Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колебаниями
должны быть стоячие волны. Удобнее, однако, выбрать
При таком выборе система N уравнений сводится к одному уравнению
которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседних
частиц tp. Смысл подстановки (5) заключается в выборе для хп решения в
виде бегущей волны с волновым вектором р = p/а, так как пр = пар = = рХп.
Уравнение (6) устанавливает, таким образом, связь между частотой и
волновым вектором.
Условиям (4) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих в обе
стороны волн хп = Аег(шЬ~П1Р) р ?>егМ+п<р) условие Xq = q дает А = -В,
или хп = 2iB sm(np)elult, т. е. стоячую волну. Из условия на
тхп + к(2хп - xn-i - хп+\) = 0, п = 1, 2, ..., N (3)
при дополнительном условии
ад = xn+1 = 0.
(4)
^ег(ш*±п tp)
(5)
(6)
7.1]
§ 7. Колебания линейных цепочек
227
другом конце xn+i = 0 определяются возможные значения частот ("спектр
частот").
Уравнение sin(JV + l)tp = 0 приводит к N независимым решениям
fs =
N+ Г
s = 1,2,
(7)
В самом деле, s = О, s = N + 1 дают нулевые решения, а для s = N + I фаза
